Свойства равносильности неравенств:

1) неравенства и – равносильны;

2) неравенства и – равносильны;

3) если то неравенства и – равносильны;

4) если то и – равносильны;

5) неравенства и – равносильны;

6) неравенства и – равносильны;

7) неравенство

(3.22)

где ,

равносильно неравенству

(3.23)

Аналогичные свойства имеют место для всех остальных неравенств.

Неравенство вида

где называется линейным неравенством.

Неравенство вида называется квадратнымнеравенством.

В основе решения квадратного неравенства лежит графический метод. В зависимости от знака коэффициента а и дискриминанта D возможен один из шести случаев расположения графика функций (табл. 3.1).

 

Т а б л и ц а 3.1

 

а	D
D > 0 x1, x2 – корни	D = 0 x0 – корень	D < 0 нет корней
a > 0
a < 0

 

Решение квадратного неравенства находят по расположению соответствующего графика функции относительно оси Ox.

Неравенство

(3.24)

где – многочлен степени называется неравенством высшей степени.

Основной метод решения неравенств типа (3.24) – метод интервалов. Он состоит в следующем:

1. Многочлен необходимо разложить на множители. Допустим, получено неравенство

где квадратный трехчлен имеет

2. Коэффициент А и квадратный трехчлен следует «отбросить» (поделить на них). Если или то знак неравенства при этом изменяется на противоположный.

Допустим, что приходим к неравенству вида

(3.25)

где корни расположены в порядке возрастания.

3. Корни наносят на числовую ось. Справа от самого большого корня ставят знак «+» над промежутком, далее идет чередование знаков.

4. Необходимо нарисовать кривую знаков.

5. Штрихуют те промежутки, которые отвечают смыслу неравенства (т. е. для неравенства (3.25) это множество тех значений х, для которых кривая знаков находится под осью Ох).

6. Записывают ответ в виде промежутка, объединения промежутков (если их несколько) или множества из отдельных точек.

Если в результате преобразований неравенство приняло вид

где и расположены в порядке возрастания, то для решения используют обобщенный метод интервалов, который состоит в следующем:

1. Корни наносят на числовую ось.

2. Справа от самого большого корня ставят над промежутком знак «+»:

а) если – нечетное число, то при «переходе» через корень знак изменится на противоположный (т. е. следующий промежуток отметим знаком «–»);

б) если – четное число, то при «переходе» через корень знак не изменится;

в) аналогично при «переходе» через остальные корни.

3. Необходимо нарисовать кривую знаков.

4. Штрихуют те промежутки, которые соответствуют смыслу неравенства.

5. Ответ записывают в виде промежутка, объединения промежутков (если их несколько) или множества из отдельных точек.

Метод интервалов – частный случай обобщенного метода интервалов.

Неравенство типа

(3.26)

где – некоторые многочлены, называется дробно-рациональным неравенством.

Его запись (3.26) называется стандартным видом дробно-рационального неравенства.

Основными методами решения данных неравенств являются:

- метод интервалов (или обобщенный метод интервалов);

- метод замены переменной.

При решении строгих неравенств типа (3.26) вначале их записывают в виде

а затем используют метод интервалов или обобщенный метод интервалов.

Решение нестрогих неравенств

сводится к решению системы

В любом случае, при изображении нулей знаменателя на числовой оси, точки, представляющие их, выкалываются.

Неравенства вида называются двойными неравенствами, они равносильны системе:

Решением системы неравенств называют такие значения переменной, при которых каждое из заданных неравенств обращается в верное числовое неравенство.

При решении совокупности неравенств полученные решения каждого неравенства объединяются.

З а м е ч а н и е. Решать неравенство вида

по основному свойству пропорции нельзя, так как в общем случае выражения являются знакопеременными. Вначале их следует привести к стандартному виду (3.26).

 

Пример1. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству:

Преобразуем его разложив на множители:

Используем обобщенный метод интервалов (рис. 3.4).

 

 

 

Рис. 3.4

 

Заметим, что – двукратный корень, при переходе через данное значение знак не меняется. Поскольку неравенство нестрогое, в качестве решения подходят также те значения, при которых многочлен обращается в 0, т. е.

Получаем ответ

 

Пример 2.Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству:

Методом интервалов решаем последнее неравенство (рис. 3.5), учитывая ОДЗ.

 

 

Рис. 3.5

 

Получаем решение

 

Пример 3.Найти наибольшее решение системы неравенств

Решение. Заданная система равносильна системе:

Решением (рис. 3.6) является промежуток: Наибольшее значение на данном промежутке

 

 

 

Рис. 3.6

 

Пример 4. Решить совокупность неравенств

Решение. Решим каждое неравенство заданной совокупности отдельно:

Приходим к неравенству

Используя метод интервалов (рис. 3.7), получаем

 

Рис. 3.7

 

Решаем второе неравенство заданной совокупности. Находим корни квадратного трехчлена, разлагаем на множители и получаем

Используя метод интервалов (рис. 3.8), имеем:

 

 

Рис. 3.8

 

Объединяя полученные решения двух неравенств совокупности (рис. 3.9), приходим к ответу:

 

 

Рис. 3.9

 

Задания

I уровень

1.1. Решите неравенство:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

 

1.2.Решите систему и совокупность неравенств:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

 

II уровень

2.1.Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

 

2.2. Решите систему и совокупность неравенств:

1) 2)

3) 4)

 

2.3. Найдите сумму целочисленных решений неравенства:

1) 2)

 

2.4. Найдите количество целых решений неравенства

принадлежащих промежутку

 

III уровень

3.1. Найдите сумму всех натуральных решений неравенства:

1) 2)

3) где

3.2.Найдите все значения а, при которых неравенство имеет единственное решение:

 

3.3. Определите, при каких значениях параметра а всякое решение неравенства будет одновременно решением неравенства

 

3.4. Решите систему неравенств в зависимости от параметра а:

 

3.5. Определите, при каких значениях параметра а неравенство выполняется для любых х:

 

3.6. Определите, при каких значениях а решением системы неравенств является любое действительное число:

 

 

Неравенства с модулем

 

I тип: неравенство содержит некоторое выражение под модулем и число вне модуля:

где (3.27)

Решение зависит от знака числа а.

1. Если то неравенство (3.27) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.27) равносильно системе неравенств

где (3.28)

1. Если то неравенство (3.28) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.28) равносильно уравнению

3. Если , то неравенство (3.28) равносильно системе неравенств

где (3.29)

1. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений х из ОДЗ выражения

2. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений х из ОДЗ выражения таких, что

3. Если то неравенство (3.29) равносильно совокупности

где (3.30)

1. Если то решением неравенства (3.30) является множество всех значений х из ОДЗ выражения

2. Если то неравенство (3.30) равносильно совокупности

II тип: неравенство, которое содержит выражение с переменной под знаком модуля и вне его:

(3.31)

где – некоторые выражения с переменной х.

Для решения неравенств типа (3.31) можно использовать следующие способы.

1-й способ: используя определение модуля, получаем равносильную совокупность систем:

2-й способ: решаем аналогично решению неравенства (3.29) при дополнительном ограничении на знак выражения

1. Если

(3.32)

то решением является множество всех значений х из ОДЗ выражения которые удовлетворяют условию (3.32).

2. Если

то решением является множество всех значений х, которые удовлетворяют системе

3. Если решение определяется системой

Ответом в решении неравенства (3.31) является объединение всех решений, полученных на этапах 1–3.

3-й способ: метод интервалов.

Для решения необходимо:

1) найти значения х, для которых

2) найденные значения х нанести на числовую ось;

3) определить знак выражения на всех полученных промежутках;

4) нарисовать кривую знаков;

5) раскрыть модуль, пользуясь рисунком, и получить соответствующее неравенство, которое следует решить вместе с условием принадлежности переменной х определенному промежутку;

6) в ответе неравенства указать совокупность полученных решений.

III тип: неравенство содержит несколько модулей и решается двумя способами:

1-й способ: можно использовать определение модуля и решать совокупность систем неравенств. Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ: использовать метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей содержится в неравенстве. Для каждого промежутка следует решать полученное после раскрытия модулей неравенство при условии, что переменная х принадлежит конкретному промежутку. В ответе указывают объединение всех полученных решений.

IV тип: неравенство вида

где (3.33)

решается двумя способами:

1-й способ: метод интервалов.

2-й способ: согласно теореме равносильности (см. свойства равносильности неравенств (3.22) и (3.23)) неравенство (3.33) можно возводить в квадрат:

Решение неравенства (3.33) сводится к решению неравенства

Аналогично решают неравенства IV типа (3.33), если они заданы со знаками

V тип: неравенства, решаемые заменой переменной.

В таком случае выражение с модулем обозначают новой переменной. Неравенство с новой переменной решают до конца (т. е. до возможного получения промежутков решения для новой переменной). Затем возвращаются к старой переменной и решают полученные неравенства с модулем как неравенства I типа.

 

Пример 1.Решить неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Решение. 1) Решаем как неравенство I типа:

Получаем ответ:

2) Решаем как неравенство I типа:

Второе неравенство совокупности не имеет решения (соответствующая парабола лежит над осью Ох). Первое неравенство сводится к виду

Его решение: это и есть ответ.

3) Решаем как неравенство II типа. Оно имеет решение, если Поэтому получаем равносильную систему:

Получаем ответ:

4) Заданное неравенство может быть записано в виде

Заменим переменную Решаем неравенство

Его решение

Возвращаемся к переменной х и решаем совокупность

Получаем

т. е. приходим к ответу

5) Для решения неравенства используем метод интервалов. Запишем неравенство в виде

Построим числовые прямые и определим знаки выражений, стоящих под модулем (рис. 3.10).

ОДЗ:

 

 

Рис. 3.10

 

а) рассмотрим неравенство на 1-м промежутке. Получаем систему

(3.34)

Решаем неравенство

Получаем

Система (3.34) сводится к системе

На данном промежутке решений нет.

б)

Если , то С учетом рассматриваемого промежутка имеем:

Получаем

в)

Решением является промежуток:

Объединим полученные решения и приходим к ответу:

6)

ОДЗ:

Введем новую переменную:

тогда и приходим к неравенству вида

Решаем его

Используем метод интервалов (рис. 3.11).

 

 

Рис. 3.11

 

Запишем полученное решение в виде совокупности:

Вернемся к переменной х:

(3.35)

– выполняется при любых

С учетом ОДЗ второе неравенство системы (3.35) равносильно системе

Получаем ответ:

Задания

I уровень

1.1.Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

 

1.2. Решите систему или совокупность неравенств:

1) 2)

 

II уровень

2.1. Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

 

2.2.Решите систему или совокупность неравенств:

1) 2)

3) 4)

III уровень

3.1. Решите неравенство:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9)

 

3.2.Определите, при каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех

 

3.3. Определите множество решений неравенства в зависимости от параметра а:

 

3.4.Решите уравнение

где

+