Системы и совокупности уравнений

 

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными и где – некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана система уравнений:

(3.15)

Решить систему (3.15) – значит найти все пары чисел которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует.

Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.

Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует.

Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:

1) менять порядок следования уравнений;

2) умножать на число любое уравнение;

3) умножать на число одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.

Несколько уравнений образуют совокупность уравнений

если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входят в область определения остальных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

(3.16)

где

Геометрически каждому уравнению системы (3.16) соответствует прямая линия на плоскости:

и

Справедливы утверждения:

1) если то система (3.16) имеет единственное решение (геометрически – прямые пересекаются в определенной точке);

2) если то система (3.16) не имеет решений (прямые параллельны);

3) если то система (3.16) имеет бесконечно много решений (прямые и – совпадают).

Основными методами решения систем уравнений (3.15) являются:

1) метод подстановки;

2) метод исключения неизвестной;

3) метод сложения;

4) метод умножения (деления) уравнений;

5) метод замены переменных;

6) графический метод.

 

Пример 1.Решить систему

Решение. Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на и прибавим ко второму:

откуда следует

Получаем

т. е.

Следовательно,

Заданная система сводится к решению совокупности систем:

Ее решением являются пары чисел:

 

Пример 2.Решить систему

Решение. ОДЗ:

Заменим в первом уравнении системы тогда

Получим дробно-рациональное уравнение:

Решаем его

Возвращаемся к переменным х, у:

– подходит по ОДЗ.

Получили ответ

 

Пример 3.Решить систему

Решение. Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных

(3.17)

Далее используем метод сложения:

т. е.

Получаем корни этого квадратного уравнения:

С учетом системы (3.17) имеем:

Возвращаясь к переменным х, у, получаем:

Решим записанные системы отдельно:

1) (3.18)

Возвращаясь к системе (3.18), получаем:

т. е. имеем два решения и

2) (3.19)

Поскольку для последнего квадратного уравнения система (3.19) не имеет решения.

Получили ответ

Пример 4.Решить систему графически:

1) (3.20)

2)

Решение. 1) Исходя из геометрического смысла, – уравнение окружности с центром и радиусом – прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку

Построим эти линии (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2

 

Графики имеют две точки пересечения, т. е. система имеет два решения, которые найдем из системы (3.20):

Получили ответ

2) Уравнение может быть записано в виде и является уравнением гиперболы .

Уравнение может быть записано в виде – это биссектриса II и IV координатных углов.

Выполним построение (рис. 3.3).

 

Рис. 3.3

Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.

 

Пример 5.Решить систему

Решение. Система содержит однородное уравнение.

Так как получим:

Из второго уравнения найдем х:

Получаем совокупность двух систем:

Приходим к ответу и

 

Задания

 

I уровень

1.1.Решите систему:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

 

1.2. Решите систему графически:

1) 2)

3) 4)

 

II уровень

2.1. Решите систему:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

 

2.2. Определите, при каких значениях а система имеет единственное решение:

1) 2)

III уровень

3.1. Решите систему:

1) 2)

 

3.2. Определите, при каких значениях а система

1) имеет хотя бы одно решение;

2) не имеет решений.

Определите геометрический смысл результата исследования.

 

3.3. Определите, при каких значениях а система

имеет хотя бы одно решение. Решите систему.

 

3.4. Найдите значения a и b, при которых корни уравнения

удовлетворяют условиям:

 

3.5.Решите систему

 

3.6. Решите систему графически

 

3.7. Определите, при каких значениях а система

имеет единственное решение.