ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ

 

Развитие состояния во времени описывает волновое уравнение Шредингера. Для вывода уравнения используем оператор эволюции, сдвигающий состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.

Оператор трансляции сдвигает состояние объекта на расстояние а

. (2.44)

 

Для получения оператора разлагаем в ряд Тейлора и учитываем оператор импульса

 

,

 

где квадратная скобка является разложение в ряд экспоненты. В результате оператор трансляции

. (2.45)

 

Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля

 

. (2.46)

Определению (2.46) удовлетворяет

.

Сравнение с (2.45) дает

. (2.47)

 

Генератором перемещения является импульс.

 

Оператор эволюции передвигает состояние во времени на τ

 

. (2.49)

 

По аналогии с (2.45) записываем

. (2.50)

 

Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)

 

.

Генератор эволюции

(2.51)

 

сравниваем с генератором трансляции (2.46) и по аналогии с (2.47) получаем

,

 

. (2.52)

 

Для нахождения физического смысла рассматриваем его действие на волну де Бройля

,

 

описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем

 

.

 

Это уравнение на собственную функцию. Следовательно, генератором эволюции является оператор полной энергии, или гамильтониан. Гамильтониан частицы – это полная энергия, выраженная через импульс и координату частицы.

 

Уравнение Шредингера

 

Для системы, описываемой гамильтонианом , волновая функция системы находится из уравнения, которое получил Эрвин Шрёдингер в 1926 г. Если потенциальная энергия системы не зависит от времени, то полная энергия Е постоянна, зависимости от координат и времени в волновой функции разделяются , где . Функция находится из стационарного уравнения Шредингера.

 

Правило соответствия. При переходе от классической к квантовой теории физическим величинам сопоставляются эрмитовые операторы. При этом соотношения между динамическими характеристиками сохраняются. Это обеспечивает совпадение результатов теорий при больших значениях квантовых чисел.

 

Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории является суммой кинетической и потенциальной энергий, выраженных через импульсы и координаты:

 

.

Переходим к операторам

,

 

,

 

,

где

– оператор градиента,

– оператор Лапласа,

Получаем оператор Гамильтона

. (2.53)

 

Волновое уравнение Шредингера следует из (2.52)

 

и (2.53) в виде

. (2.54)

 

Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени

,

 

то полная энергия E сохраняется и состояние системы стационарное. В (2.54) слагаемые с координатами и временем разделены, решение ищем в виде

. (2.55)

 

Подставляем (2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на , переменные разделяются

.

 

Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому они равны постоянной Е.

В уравнении для

разделяем переменные

и интегрируем

. (2.56)

 

Для получаем стационарное уравнение Шредингера

 

. (2.57)

Уравнение (2.57) с учетом является уравнением для собственной функции гамильтониана

 

, (2.58)

 

следовательно, Е – полная энергия. Если система одномерная, то для из (2.57) получаем

. (2.59)

 

Стационарное состояние с энергией E имеет вид

. (2.60)

 

Функция периодически зависит от времени как с частотой, пропорциональной энергии:

. (2.61)

 

Для свободной частицы при получаем зависимость частоты от волнового числа – закон дисперсии

. (2.61а)

 

Координатную часть волновой функции стационарного состояниявыражаются через вещественные функции амплитуды A и фазы β

 

. (2.63)

Плотность вероятности

.