И собственные значения

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

 

Квантовая механика, не ограниченная полуклассическим приближением, строится на совершенно другом основании, чем классическая физика. Состояние частицы описывается функцией, множество состояний образует гильбертого пространство функций. Измеряемая физическая величина описывается линейным оператором, действующим в гильбертовом пространстве.

Основные положения:

 

Состояние частицы описывается волновой функцией.

Физическая величина описывается оператором.

Собственные значения оператора являются возможными результатами измерения величины. Разложение волновой функции по ортонормированному базису собственных функций оператора дает вероятности возможных результатов измерения соответствующей физической величины.

Волновая функция и энергия частицы получаются в результате решения уравнения Шредингера.

Квантовая механика в общем случае не дает однозначных результатов для характеристик частицы, но лишь вероятности тех или иных результатов, которые удовлетворяют соотношениям неопределенностей.

 

ВОЛНОВАЯ функция

 

Состояние частицы выражает комплексная функция Y (пси), являющейся амплитудой вероятности обнаружения частицы:

 

.

Физический прибор – детектор частиц регистрирует . Физический смысл:

 

– вероятность обнаружения частицы в момент t в объеме около точки ;

 

– плотность вероятности – вероятность обнаружения частицы в момент t в единичном объеме около точки r.

Условие нормировки

.

Волновая функция:

1) Определена с точностью до постоянного фазового множителя;

состояния и , где , физически не различимы;

2) Квадратично интегрируема, – существует;

3) Удовлетворяет принципу суперпозиции – если возможны состояния и , то возможно состояние

 

,

 

где – комплексные числа, определяющие вероятность обнаружения состояний 1 и 2.

 

ОператорЫ

 

Физической величине A сопоставляется линейный оператор . Исключением является время, которое считается параметром. Подразумевается, что правее оператора находиться функция, на которую он действует.

 

Оператор координаты

 

, . (2.1)

 

Оператор проекции импульса

 

, . (2.2)

 

Свойства линейных операторов:

1) Умножение на число с

 

. (2.3)

2) Линейность

, (2.4)

где и – числа.

 

3) Сложение операторов

. (2.5)

 

4) Умножение на оператор

 

. (2.6)

 

Операторы в общем случае не перестановочны при их перемножении, например:

,

 

.

 

Перестановочное соотношение, или коммутатор операторов:

 

.

 

Операторы и коммутируют, если . Примеры:

 

, ,

 

. (2.7)

 

Собственные функции операторА

и собственные значения

 

Собственная функция оператора определяется уравнению

 

, (2.8)

 

– собственное значение оператора. Т.е. под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.

Физический смысл – если система находится в состоянии , то измерение величины A, описываемой оператором , дает однозначный результат .

Спектр оператора – это множество его собственных значений .

Если счетное, то спектр дискретный.

Если образует непрерывный набор, то спектр непрерывный.

Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.

Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.

Доказательство:

Пусть – собственная функция , тогда

 

.

 

Действуем оператором на обе стороны равенства

 

.

 

Учитываем коммутативность операторов

 

,

получаем

.

 

Следовательно, – собственная функция , пропорциональная :

 

.

 

В результате – собственная функция с собственным значением .

 

Оператор координаты. Пусть – собственная функция с собственным значением , тогда

 

 

Верхнее равенство записано по определению оператора координаты, нижнее – по определению собственной функции. В результате

 

 

Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции

 

,

находим

.

Функция равна нулю во всех точках, кроме , x₀ – любое вещественное число, спектр x₀ непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния, что оправдывает выбор формы оператора координаты.

Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид

.

Подстановка дает

.

 

Откуда , тогда собственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x₀ оси x:

 

. (2.9)

 

Оператор импульса. Уравнение на собственную функцию дает

 

 

Получили дифференциальное уравнение первого порядка

 

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

находим

.

 

Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля

, (1.11)

 

описывающей движение частицы с постоянным импульсом. Это оправдывает выбор формы оператора импульса. Ограниченность вероятности |Ψ_р(x)|² при любых x требует вещественности р, в результате спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра

 

дает

.

Используя

,

находим . Тогда собственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p вдоль оси x, равна

. (2.10)

 

ЭрмитовыЙ оператор

 

Оператор физической величины должен быть эрмитовым. Это обеспечивает вещественность и однозначность результатов измерения величины. Для определения операции эрмитового сопряжения используется квадратичная форма с оператором под интегралом. Такая форма выражает в частности среднее значение измеряемой величины.

Эрмитово сопряжение + для оператора определяется в виде

 

, (2.11)

 

где интегрирование проводится по всему объему пространства, занятого системой.