Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: ион гелия, двукратно ионизованный литий и т.д.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом +Ze:

где - расстояние между электроном и ядром. Графически функция U( r) показана на рис.34.

Состояние электрона в атоме водорода описывается функцией y удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему вид потенциальной энергии для данного случая:

,

где - полная энергия электрона в атоме. Т.к. поле, в котором движется электрон - центрально-симметричное, то для решения этого уравнения используют сферическую систему координат показанную на рис.35. Декартовы координаты заменяются на сферические: .Не вдаваясь в решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые следуют из него, пояснив их физический смысл.

Энергия. Из теории дифференциальных уравнений известно, что уравнение Шредингера, приведенное выше имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, только при собственных значениях энергии, имеющих вид:

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Т.о., как и в случае потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками и гармонического осциллятора, решение соответствующего уравнения Шредингера приводит к квантованным значениям энергии. Возможные значения показаны на рисунке, показывающем вид , в виде уровней. Самый нижний уровень - основной - E ₁ . Все остальные - E₂ , E₃,… - возбужденные. При E < 0 движение электрона является связанным, т.е., он находится внутри гиперболической потенциальной ямы. Видно, что с ростом n уровни сближаются и при . Если E > 0, то движение электрона становится свободным, т.е. он уходит в бесконечность. Область E > 0 соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода:

Выражение для энергии полностью совпадает с формулой полученной Бором для энергии атома водорода. Однако, если Бором это выражение получено путем введения постулатов, то в квантовой механике значения являются следствием решения уравнения Шредингера.

Квантовые числа. При решении уравнения Шредингера для водородоподобного атома, как было показано в квантовой механике, собственные функции содержат три целочисленных параметра: . Это соответствует записи:

Параметр - главное квантовое число. Главное квантовое число, как было показано, определяет энергетические уровни электрона в атоме и принимает целочисленные значения: . Было также установлено, что момент импульса (в нашем случае механический орбитальный момент рис.34) электрона может принимать только дискретные значения, которые определяются выражением: , где - орбитальное квантовое число, может принимать значения:, , т.е., всего - значений. Таким образом, определяет момент импульса электрона в атоме. Квантовое число иногда называют также азимутальным квантовым числом.

Выяснилось также, что вектор момента импульса может принимать не все ориентации, а только определяемые правилом пространственного квантования.