Исходная модель и постановка задачи

В качестве примера рассмотрим модель возмущенных колебаний математического маятника

с управлением u и ограниченным внешним возмущением w (при произвольных углах отклонения от положения равновесия). Полагая

,

приходим к системе

(1.1)

которую будем рассматривать как систему

(1.2)

где - вектор состояния, - входное возмущение, - вектор управляемого выхода, - известные постоянные матрицы, , T>t₀ заданная константа (при рассмотрении на конечном интервале) или T=¥ (при рассмотрении на бесконечном интервале).

В качестве выхода системы, чтобы избежать больших значений управления, выбран вектор . Также будет учитываться неопределенность в начальном состоянии системы, задаваемая в виде эллипсоида с матрицей , т.е.

(1.3)

При этом для рассматриваемой системы (1.1) определим матрицы в (1.2)

.

Линеаризованная система относительно положения равновесия x=0 получается из исходной заменой нелинейности на :

(1.4)

где матрица A определяется как .

Предположим, что неопределенные возмущения являются непрерывными функциями, ограниченными в каждый момент времени:

. (1.5)

Множество таких функций обозначим как W=E_w(I).

Обозначим G₊ - множество симметрических (S=S^T) неотрицательно определенных (S>0) матриц, и G⁺ - множество симметрических (S=S^T) положительно определенных (S>0) матриц. Известно, что G₊ - есть телесный и воспроизводящий конус, с помощью которого вводится частичный порядок в пространстве симметрических матриц .

Задача состоит в синтезе управления в виде обратной связи по состоянию

, (1.6)

стабилизирующего замкнутую систему и подавляющего начальные отклонения и воздействие внешних возмущений в смысле минимальности ограничивающего эллипсоида для выхода z.

Задача синтеза сводится к оптимизации критерия при ограничениях в виде линейных матричных неравенств. В качестве критерия обычно берется след матрицы, определяющей размер инвариантного или ограничивающего выход эллипсоида.

Синтез модального регулятора с заданным расположением собственных значений матрицы замкнутой системы

Задается расположение собственных значений (корней характеристического полинома) p=[-0.8 -3] матрицы A+B*K замкнутой системы. С использованием функции place пакета Matlab производится синтез регулятора u=Kx в форме обратной связи по состоянию

K=[];

p=[-0.8 -3];

K=-place(A,B1,p);

ABK=A+B1*K;

eig(ABK)

В результате получены коэффициенты регулятора

K =[ –2.7500 –4.0000].

При этом матрица замкнутой системы

имеет заданные собственные значения [–1.0000 –3.0000]. Следовательно, линеаризованная система, замкнутая с модальным регулятором асимптотически устойчива.