Задача ограниченности относительно заданных множеств

Пусть заданы в виде эллипсоидов , , (R₀, R(t) – известные симметрические положительно определенные матрицы) – соответственно множество начальных состояний, множество допустимых состояний в моменты времени , а также множество допустимых внешних возмущений W.

Определение 4.1. Будем говорить, что система (1) обладает на свойством ограниченности относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] (при отсутствии неопределенных внешних возмущений – свойством устойчивости относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t))]), если для всех существуют на решения системы (1) с начальными данными , для которых имеет место при всех и всех нелинейностях из (4.2) (соответственно при всех и всех нелинейностях их (4.2)).

Отметим, что определении 1, в отличии от общепринятых определений устойчивости и ограниченности, указываются конкретные множества начальных данных и множества, которым должны принадлежать траектории системы с этими начальными данными. В этом отношении определения аналогичны определениям устойчивости и ограниченности на конечном интервале времени, активно изучаемые в последние годы [21-24 и др.].

Теорема 4.1. Система (4.1) является ограниченной на интервале относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W], если при некотором существуют положительно определенные симметрические матрицы , и параметры , удовлетворяющие дифференциальному линейному матричному неравенству

, (4.4)

и следующим ограничениям

, . (4.5)

При отсутствии неопределенных внешних возмущений система будет обладать на интервале свойством устойчивости относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t))], если существуют симметрическая положительно определенная матрица и параметры , удовлетворяющие дифференциальному линейному матричному неравенству

, (4.6)

и ограничениям (4.5).

Следующая лемма распространяет достаточное условие ограниченности линейной системы на системы вида (4.1) с нелинейностями из (4.2), при внешних возмущениях из (4.3).

Лемма 4.1. Для того чтобы система (4.1) являлась ограниченной относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] достаточно, чтобы существовала симметрическая матрица P(t) такая, что

(4.7)

, (4.8)

. (4.9)

4.3. Задача подавления начальных отклонений и внешних неопределенных возмущений с оценкой качества по H_¥ критерию

Пусть в начальный момент времени состояние системы является неопределенным, известно, что оно принадлежит эллипсоиду

, (4.10)

где – заданная положительно определенная симметрическая матрица.

Предполагается, что пара (A(t),D(t)) –управляема, а матрица C(t) является матрицей полного ранга строк.

Определение 4.2. Система (1) с нелинейностью, удовлетворяющей (2), и внешними возмущениями w(t)ÎL₂ обладает на заданном интервале H_¥ свойством со степенью g, называемой H_¥ границей, если

, (4.11)

где g - заданное положительное число, S₀, S_T – заданные положительно определенные симметрические матрицы.

Задача заключается в том, чтобы определить H_¥ границу, т.е. определить степень подавления начальных отклонений из (4.10) и внешних возмущений из (4.3) при любой нелинейности из (3.2).

Теорема 4.2. Система (4.1) при L₂ возмущении обладает H_¥ свойством (4.11), если для заданных g>0, S₀, S_T>0 существует непрерывно дифференцируемая матричная функция Q(t)>0 с граничными условиями , , удовлетворяющая при некотором и всех дифференциальному линейному матричному неравенству

. (4.12)

Следующая лемма распространяет достаточное условие для того чтобы линейная неавтономная система с вектором управляемого выхода, определяемым в виде , обладала H_∞ свойством, на системы вида (4.1) с нелинейностями из (4.2) при внешних возмущениях из (4.3).

Лемма 4.2. Система (1) с обладает H_¥ свойством (4.11) при L₂ возмущении, если для заданных g>0, S₀, S_T>0 существует непрерывно дифференцируемая симметрическая матричная функция P(t) такая, что

, (4.13)

, (4.14)

. (4.15)

Доказательство. Пусть . Если условия (4.13) - (4.15) выполняются, мы имеем

так что

.

Это завершает доказательство.

Объединением условий лемм 4.1 и 4.2 получаются достаточные условия для того, чтобы система (1) с одновременно обладала ограниченностью относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] и H_¥ свойством.

Теорема 4.3 Система (1) с являлась ограниченной относительно заданных множеств [E(R₀), E(R(t)), W] и обладает H_¥ свойством (4.11) при L₂ возмущении, если для заданных g>0, R₀>0,S₀>0, R(t)>0, S_T>0 существует положительно определенная симметрическая матрица P(t) такая, что

,

,

,

где .

Следует отметить, что лемма 2 и теорема 3 распространяет соответствующий результат, полученный в [6] для линейной неавтономной системы с внешними ограниченными по норме возмущениями, на случай неавтономной системы с нелинейностями из (4.2) при L₂ возмущениях.