Метод половинного деления

Домашняя лабораторная работа по теме «Приближенное решение уравнений с одной переменной»

Задание. Найти один из корней уравнения методом деления отрезка пополам (методом Фибоначчи, «золотого сечения», рандомизации) с точностью до : 1) отделить корень на отрезке , проверить его единственность; 2) реализовать один из методов деления отрезка в заданном отношении (использовать ЭВМ или калькулятор); 3) сделать проверку точности найденного решения подстановкой его в исходное уравнение.

Порядок выполнения работы

1) Графическое отделение корня в случае достаточно сложного выражения y=f(х) можно производить следующим образом. Допустим, что уравнение можно представить в виде f₁(x) = f₂(x). В этом случае строим графики функций у=f₁(x) и y=f₂(x); абсциссы точек пересечения кривых будут действительными корнями уравнения. Найдем, например, приближенно корни уравнения x-sin x-1 = 0, записав это уравнение в виде x-1 = sin x. Построим графики функций y = sin x и у = х-1 (рис.2). Точка пересечения этих линий имеет абсциссу х ≈ 1,9, что можно считать грубым приближением значения корня.

Рис. 2

Интервал [а;b] является интервалом изоляции корня, если его можно считать настолько малым, что на нем лежит точно один корень исходного уравнения. Выбор этого интервала производится на основании свойства непрерывных функций: если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (f(a)f(b) < 0), то между точками а и b есть хотя бы один корень уравнения f(x) = 0. Корень будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри [а;b] (рис. 3).

Рис. 3

Найдем интервал изоляции корня уравнения: х³+x²-1=0. Для этого представим уравнение в виде: х³ =1-x², т. е. f(x)=x³ и g(x)=1-x². Построим приближенно графики функций y=f(x) и y=g(x) (рис 4). Точка пересечения графиков двух функций, а значит, и корень уравнения находится на отрезке [0;1]. Проверим аналитические условия: f(0)=0³+0²-1=-1<0, f(1)= 1³ +1²-1=1>0, и f'(х)=3х²+2x>0 на отрезке [0;1]. Таким образом, мы определили интервал изоляции корня, для нахождения которого достаточно применить любой из аналитических методов численного решения уравнений.

у=x³

у=1-x²

Рис. 4

Задача отыскания корней уравнений может считаться практически решенной, если удалось определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности.

Метод половинного деления

Рассмотрим один из самых простых численных методов решения уравнений – метод половинного деления. Пусть для уравнения найден интервал изоляции корня – отрезок [а;b]. Для уточнения искомого корня отрезок [а;b] делим пополам и из двух, полученных в результате этого деления отрезков выбираем тот, для которого выполняются условия существования и единственности корня (на концах отрезка функция принимает значения разных знаков). Середину отрезка находим по формуле х_i=(a+b)/2, i=1,2,3…, и продолжаем данный процесс пока не достигнем необходимой точности (рис.5).

Рис.5

Рассмотрим применение метода половинного деления на примере решения уравнения х³+x²-1 = 0 на отрезке [0;1]. Разделим интервал изоляции пополам – это точка х=0,5. Получим два подотрезка – [0;0,5] и [0,5;1]. Вычислим значения функции на концах отрезков, f(0)=-1<0,f(0,5)=0,5³+0,5²-1=0,125+0,25-1=-0,625< 0, f(1)=1³+1²-1=1+1--1=1>0, т. е. на концах отрезка [0,5;1] функция имеет значения разных знаков, следовательно, корень уравнения принадлежит отрезку [0,5;1]. Выбираем этот отрезок для дальнейшего рассмотрения.

Повторяем метод половинного деления уже для нового отрезка. Середина отрезка x=(0,5+1)/2=0,75, и из двух полученных отрезков выбираем правый отрезок [0,75;1], т.к. f(0,75) = -0,015625< 0, f(1)=1> 0. Процесс продолжается до получения корня с заданной степенью точности.

Если делить отрезок [a;b] сразу на десять частей, то на следующем шаге можно получить отрезок в десять раз меньший, чем [a;b].

2. Метод Фибоначчи

Рассмотрим одну из разновидностей метода половинного деления – метод Фибоначчи.

Пусть дано уравнение , где функция у= непрерывна на и . Для уточнения корня данного уравнения введем последовательность чисел Фибоначчи: , , , это будут числа 1,1,2,3,5,8,13,21 и т.д. Согласно данному методу, на каждом ом этапе отрезок делят в отношении , где и соответственно е и е число из последовательности Фибоначчи. Так на первом шаге отрезок делят в отношении (пополам) и выбирают тот из них, на концах которого функция имеет разные знаки. На втором этапе выбранный суженный отрезок делят в отношении , следующие в отношениях , , В результате получаем на некотором этапе точный корень уравнения, или же бесконечную последовательность отрезков таких, что (n=1,2,…). Формула для вычисления имеет вид: В качестве корня можем принять .