Использование производных для исследования функций

Возрастание, убывание функции. Точки экстремума

Достаточное условие возрастания, убывания и постоянства функции.Если в некотором промежутке производная данной функции больше нуля , то функция возрастает в этом промежутке; если производная меньше нуля , то функция убывает. Если производная равна нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Определение.Точками экстремума функции называются точки максимума и минимума. На конечном промежутке у функции может быть несколько максимумов и минимумов, то есть экстремум имеет локальный характер.

Необходимое условие экстремума.Если является точкой экстремума функции , то ее первая производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки экстремума называются критическими точками.

Достаточное условие экстремума.Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то есть

при и при ,

то функция в этой точке имеет максимум.

Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с минуса на плюс, то есть

при и при ,

то в этой точке функция имеет минимум.

Пример 4.1. Найти интервалы возрастания и убывания и экстремум функции .

Решение.

Находим производную функции:

.

Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремума и .

Исследовав знак (рисунок 4.1.), получаем, что на интервалах и функция возрастает, а на интервале - убывает.

Рисунок 5.1

Точка - точка максимума, - максимальное значение функции, а точка - точка минимума, - минимальное значение функции.

Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба

Определение. График функции будет выпуклым (или вогнутым) на интервале , если любая касательная к кривой на этом интервале проходит выше или ниже этой кривой относительно оси абсцисс.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости).Если вторая производная функции в интервале , то график функции на этом интервале вогнут. Если , то график функции выпуклый.

Определение.Точка кривой, где выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба.

Достаточное условие точки перегиба.Если вторая производная функции в точке равна нулю, , и меняет знак при переходе через эту точку, то эта точка является точкой перегиба графика функции.

Пример 4.2.Найти точки перегиба функции .

Решение.Находим производную функции: .

Находим вторую производную функции: . Решая уравнение , получаем точку . Получаем, что на интервале , на интервале . Следовательно - точка перегиба функции.