Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости в точке

Понятие дифференцируемости функции

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Обозначим символом любое приращение аргумента, такое, что принадлежит указанной окрестности точки .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

, (1)

где — некоторое число, не зависящее от , — бесконечно малая функция при .

Заметим, что поскольку — бесконечно малая функция, то . Тогда . Следовательно, является бесконечно малой более высокого порядка, чем , и обозначается . Учитывая это обозначение, формулу (3) можно также записать в виде

, (2)

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство необходимости. Пусть функция дифференцируема в точке , то есть ее приращение представимо в виде (1). Разделим равенство (1) на и перейдем к пределу при . В результате получим

.

Отсюда следует, что в точке существует конечная производная , равная .

Доказательство достаточности. Пусть функция имеет в точке конечную производную, то есть существует предельное значение

.

В силу определения предельного значения, разность , где — бесконечно малая функция при . Отсюда имеем

. (3)

Данное представление приращения функции совпадает с представлением (1), если обозначить через не зависящее от число . Следовательно, функция является дифференцируемой в точке .

Правила дифференцирования также были сформулированы в предыдущей лекции. Докажем теперь некоторые из них.

1. Пусть функция имеет производную в данной точке . Тогда функция , где — постоянная, также имеет в этой точке производную, причем .

Рассмотрим функцию . Найдем приращение этой функции в данной точке , соответствующее приращению аргумента

.

По определению производной имеем

.

2. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда сумма и разность этих функций также имеют в этой точке производные, причем

.

Пусть . Тогда

,

.

3. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда произведение этих функций также имеет в этой точке производную, причем .

Обозначим , и приращения функций , и в точке , соответствующие приращению аргумента . Заметив, что , , найдем приращение

.

Так как функции и имеют производную в точке , то они непрерывны в этой точке. Следовательно, и . Учитывая эти равенства и определение производной, получим

.

4. Пусть функции и имеют производные в данной точке . Тогда частное этих функций при условии, что , также имеет в этой точке производную, причем .

Правило дифференцирования частного доказывается аналогично предыдущим.

Таблица производных.

Таблица производных простейших элементарных функций

1. , где — постоянная;

2. , ;

3. , ;

4. ;

5. , , ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .