Понятие функции. Область определения. Область значений. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции

Операции над множествами

Пусть и — произвольные множества.

Объединением или суммоймножеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и . Объединение множеств и обозначается символом .
Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству , Пересечение множеств и обозначается через .

Разностьюмножеств и называется множество , состоящее из всех элементов, множества , не принадлежащих множеству . Разность обозначается как .

Если , то разность называется дополнениеммножества до множества и обозначается .

Для наглядности множества нередко изображают в виде некоторой совокупности точек на плоскости. На рис. 1а изображены множества и , на рис. 1б — их объединение, на рис. 1в — пересечение множеств и , на рис. 1г — разность множеств и , на рис. 1д — дополнение множества до множества .

а) б) в)

г) д)

Рис. 1

Пусть задана система множеств , где значения образуют некоторую совокупность индексов . Объединением множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств . Пересечением множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежщих одновременно всем множествам .

Пример. Пусть , , , где — множество натуральных чисел. Тогда

, , ,

, ,

, , ,

, , , , .

Понятие функции. Область определения. Область значений. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции.

Понятие функции

Если каждому значению переменной из некоторого множества ставится в соответствие по известному закону единственное число , то говорят, что на множестве задана функция или .

При этом называется аргументом функции, множество — областью задания функции . Число , которое соответствует данному значению аргумента , называется частным значением функции в точке . Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество , называемое множеством значений функции.

Функция называется четной (нечетной), если для любого из области определения функции справедливо равенство ( ).

Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого из области определения функции справедливо равенство . Наименьшее из чисел называют периодом функции.

Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое число , что для любого справедливо неравенство .

Для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строят графики функции.

Графиком функции называется множество точек на плоскости с координатами , .

Простейшими элементарными функциями называются следующие функции: степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические функции , , , и обратные тригонометрические функции , , , . Свойства этих функций и их графики смотрите в [1] § 5.4.

Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией этих функций.

Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем называть сложными функциями. Например, сложная функция образована в результате суперпозиции функций и .

Элементарными функциями называются функции, полученные в результате суперпозиции простейших элементарных функций и арифметических действий.