ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №3

Задано сечение, составленное из прокатных профилей: швеллера № 16а и двух неравнобоких уголков 80´50´6 (Рисунок 8). Требуется вычислить главные центральные моменты инерции.

 

I

II

 

Рисунок 8 - Расчетная схема первого сечения

 

1. Из таблиц сортамента выписываются геометрические характеристики

прокатных профилей, составляющих заданное сечение.

Швеллер №16а: размеры h =160 мм, b = 68 мм, площадь сечения ; осевые моменты инерции коор­дината центра тяжести .

Неравнобокий уголок : площадь сечения осевые моменты инерции координаты центра тяжести .

Примечание. Если в состав сечения входит прямоугольник, то для него по формулам (3.6) следует вычислить площадь и осевые моменты инерции

(3.6)

 

В соответствии с заданным вариантом сечения выполняется чертеж в масштабе 1:2 с указанием характерных размеров.

На чертеж наносятся центры тяжести швеллера и уголка и проводятся их собственные центральные оси и (см. Рисунок 8).

2. Определение положения центра тяжести заданного сечения.

Заданное сечение имеет одну ось симметрии, которая является главной цент­ральной осью. Выбираем исходную систему координат: ось абсцисс y ^/ совмещаем c нижней границей сечения, а ось ординат Z - с осью симметрии. Координаты точек и легко опреде­ляются по чертежу.

Используя формулу (3.2) и учитывая симметрию сечения, вычисляем ор­ди­нату его центра тяжести по формуле

где F₁ - площадь швеллера, ,

- ордината точки , ;

- площадь одного уголка, ²;

- ордината точки - , .

После подстановки числовых значений получаем

 

 

Откладывая найденное значение на оси Z вверх от оси y^/, находим положение центра тяжести всего сечения C и проводим главные центральные оси Y , Z.

Примечание. Если фигура имеет две оси симметрии, центр тяжести лежит на их пересечении, то вычислений для определения его положения про­из­во­дить не нужно.

3. Вычисление главных центральных моментов инерции сечения отно­си­тельно осей Y и Z .

Расстояния между осями определяются по чертежу:

так как оси Z и совпадают;

Главные центральные моменты инерции составного сечения и вычис­ляются по формулам (4.5):

(3.7)

После подстановки числовых значений в формулы (4.7),получаем:

 

 

ВТОРОЙ ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ №3

 

Задано сечение (Рисунок 9). Размеры сечения заданы в сантиметрах.

 

 

 

Рисунок 9 - Расчетная схема второго сечения

 

 

Требуется определить главные центральные моменты инерции этого сечения.

1. Заданное сечение вычерчивается в масштабе 1:2 и разбивается на про­стейшие фигуры: квадрат (1), прямоугольник (2) и круговое отверстие (3). На чертеже по­казываются центры тяжести составляющих фигур (точки и ) и про­водятся их главные центральные оси ; и (см. Рисунок 12). Площади и моменты инерции составляющих фигур отно­сит­ель­но их централь­ных осей вычисляются по известным формулам.

Для квадрата

;

Для прямоугольника

Для круга

2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

Центр тяжести составной фигуры лежит на ее оси симметрии Y. Вспо­мо­га­­тельная ось z^/ совмещается с левой границей сечения. Коор­дината це­н­тра тя­же­с­ти всего сечения в системе Yoz^/ определяется по фор­­муле (3.2):

По чертежу определяются абсциссы точек и :

Площадь круга подставляется в формулу (3.2) со знаком минус, так как площадь отверстия принято считать отрицательной величиной.

Подставляя числовые значения, получаем

Откладывая на оси Y отрезок ОС =19,5 см, находим точку С - центр тя­жес­ти составного сечения и проводим главную центральную ось Z, парал­лельную оси z ^/ (см. Рисунок12).

3. Вычисление моментов инерции относительно главных центральных осей Y, Z.

Используем формулы (3.5), как и в предыдущем примере. Перед послед­ним слагаемым в скобках ставится знак минус, так как моменты инерции от­­вер­стия считаются отрицательными:

(4.8)

Моменты инерции составляющих фигур относительно собственных гла­в­­ных центральных осей вычислены ранее. Оси и совпадают с гла­в­ной центральной осью Y всей фигуры, поэтому расстояния между эти­ми ося­ми и осью Y равны нулю:

По чертежу находим расстояние между осями Z и

см.

и расстояние между осями Z и

см.

Подставляя числовые значения в (3.8), вычисляем главные центральные моменты инерции составного сечения:

 

.

ЗАДАЧА № 4

 

К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента , три из которых известны.

Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого кон­це­вого сечения равен нулю;

2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении допускаемого напряжения [t] определить диа­метр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до бли­жай­шей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;

4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диа­метре, если допускаемый угол закручивания 1 град/м;

5) построить эпюру углов закручивания.

Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали

Числовые данные берутся из таблицы 4, расчетные схемы - по Рисунку 10.

 

 

Таблица 4 - Числовые данные к задаче № 4

Номер строки	Номер расч. схемы по	Размер, м	Момент, кН× м	[t], МПа
	Рисунок 6	а	B	с
		0,8	0,4	1,0	2,0	1,6	1,0
		0,6	0,5	0,5	1,8	1,7	1,2
		0,4	0,7	0,7	1,7	0,9	0,7
		0,6	0,4	0,6	1,5	0,8	1,5
		0,5	0,8	0,4	1,3	2,0	1,4
		0,7	1,0	0,8	1,0	1,7	2,0
		1,0	0,7	1,0	1,6	1,5	1,6
		0,4	0,6	0,5	1,4	1.6	1,8
		0,7	0,4	0,6	1,5	0,8	0,9
		0,5	0,5	0,4	0,9	1,0	1,5

 

Рисунок 10 - Расчетные схемы к задаче № 4