Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Рассмотрим такой вид нагружения, как растяжение (сжатие), при котором в попе­речных сечениях бруса возникают только продольные силы, напра­вленные вдоль его оси, все остальные внутренние усилия равны нулю.

Продольная, или нормальная сила, N считается положительной при рас­тяжении и отрицательной при сжатии. Ее величина может быть найдена с помощью метода сечений: она чис­ленно равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Действующая в поперечном сечении продольная сила N равномерно рас­пределяется по всему сечению и, как следствие этого, нормальные напря­жения также равномерно распределяются по всему сече­нию.

Их величина определяется по формуле

, (1.1)

где N - продольная сила в поперечном сечении;

F - его площадь.

В системе СИ сила выражается в ньютонах, площадь поперечного сече­ния - в квадратных метрах (м²), нормальное напряжение - в паскалях (Па).

Сила может быть выражена в килограммах, а напряжение в килограммах, деленных на сантиметр в квадрате.

Абсолютное удлинение бруса при растяжении определяется по формуле

(1.2)

где l - начальная длина бруса;

l_к - длина бруса после деформации.

Относительное удлинение бруса (относительная продольная дефор­мация)

. (1.3)

При растяжении Dl > 0 и e > 0, при сжатии эти величины отрицательны.

Абсолютное поперечное сужение

(1.4)

где b - первоначальный поперечный размер бруса;

b_к - величина поперечного размера бруса после нагружения.

Относительное поперечное сужение (относительная поперечная дефор­мация)

. (1.5)

Абсолютная величина отношения , обозначаемая , называется коэф­фициентом Пуассона. Она является постоянной для каждого материала и ха­­рак­теризует его упругие свойства:

(1.6)

Между нормальным напряжением и относительным удлинением суще­ствует прямая пропорциональная зависимость, называемая законом Гука

, (1.7)

где E - коэффициент пропорциональности ( модуль упругости первого ро­­­да, или модуль Юнга).

Модуль упругости - это физическая характеристика материала, измеряе­мая в тех же единицах, что и нормальное напряжение.

Учитывая, что и , можно записать выражение для вычисления абсолютного удлинения бруса в виде­

. (1.8)

Для ступенчатого стержня и (или) стержня с несколькими продольными нагрузками удлинение подсчитывается как алгебраическая сумма удли­не­ний участков бруса, в пределах которых N, E, F постоянны:

. (1.9)

Если же величины N и F изменяются по длине бруса, его абсолют­ное уд­­­­­­­­­­ли­не­ние вычисляется по формуле

(1.10)

Используя соотношение s_max £ [s], называемое условием прочности, можно решить три основных задачи сопротивления материалов.

1. Подобрать сечение растянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена. Расчетная формула в этом случае имеет вид

, (1.11)

где N - продольная сила в опасном сечении бруса (сечении, в котором действует максимальное нормальное напряжение);

F - площадь поперечного сечения бруса;

[s] - допускаемое напряжение материала бруса.

Отсюда определяется необходимая площадь его сечения

. (1.12)

Зная форму сечения и его площадь, можно определить линейные раз­ме­ры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стан­дарт­ный про­филь: уголок, швеллер, двутавр и т. д.

Допускаемое напряжение [s] либо задается зара­нее, либо находится по формуле

, (1.13)

где s_опасн = s_т - предел текучести для пластичных материалов; s_опасн= - временное сопротивление для хрупких материалов;

n - запас прочности материала .

2. Определить допускаемую нагрузку, если известны прочностные свой­ства материала и площадь поперечного сечения бруса.

Расчетная формула, вытекающая из условия прочности

, (1.14)

позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, дей­ствующей в опасном сечении и, следовательно, величину внешних наг­ру­зок, приложенных к брусу.

3. Проведение поверочного расчета прочности бруса.

При поверочном расчете нагрузки, размеры и материал, из которого из­го­тов­лен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормаль­ное на­пряжение в опасном поперечном сечении и сравнивается с допус­ка­емым:

(1.15)

Если s_max £ [s], то прочность бруса обеспечена.