Производная по направлению

В п. 5.9 были даны определения скалярного поля и способ его геометрического изображения. Выясним, какими характеристиками обладает такое поле.

Рассмотрим трехмерное скалярное поле и построим величину, которая характеризует скорость изменения этого поля в некоторой точке в направлении вектора .

Пусть функция является дифференцируемой в области . Проведем из точки вектор и возьмем на нем какую-нибудь точку . Построим на отрезке как на диагонали параллелепипед, ребра которого параллельны осям прямоугольной декартовой системы координат (рис. 5.10.1). Угол с осью обозначим , с осью – , с осью – .

Рис. 5.10.1

Составим разность , которая характеризует изменение скалярного поля при переходе из точки в точку . Эту разность разделим на расстояние между точками и : . С точки зрения физики данная величина характеризует среднюю скорость изменения скалярного поля на отрезке .

Устремим теперь точку к так, чтобы точка постоянно оставалась на векторе и при этом .

Определение. Если существует предел отношения приращения скалярного поля в точке в направлении вектора к длине отрезка , когда , то этот предел называется производной скалярного поля в точке в направлении и обозначается: .

Очевидно, что производная скалярного поля по направлению равна скорости изменения скалярного поля в направлении . Если , то поле в данном направлении возрастает, если – убывает.

Найдем правило для вычисления производной по направлению. В нашем случае

Поскольку три последних слагаемых в полученном выражении бесконечно малые величины, то их сумма также является бесконечно малой величиной . Кроме того, выразим , и через величину отрезка . Таким образом,

.

Разделив полное приращение скалярного поля на длину отрезка , получим:

.

Перейдем к пределу в полученном выражении:

.

Итак,

,

то есть для вычисления производной по направлению необходимо знать значения частных производных в точке и направляющие косинусы вектора, по направлению которого вычисляется производная.

В частности, если , то , если , то , если , то . Следовательно, частные производные функции – это производные скалярного поля в направлении соответствующих ортов.

В плоском случае .

Градиент

Пусть в некоторой трехмерной области задано скалярное поле , которое дифференцируемо во всех его точках.

Определение 5.11.1. Градиентом скалярного поля в точке называется вектор .

Из определения 5.11.1 следует, что каждой точке скалярного поля соответствует не только значение функции, но и вполне определенный вектор . Между градиентом функции в некоторой точке и производной по выбранному направлению в этой же точке существует определенная связь.

Теорема. Проекция градиента скалярного поля в точке на направление орта равна производной этого поля в точке по направлению орта .

Доказательство. Как известно, координаты единичного вектора в прямоугольной декартовой системе координат равны направляющим косинусам этого вектора, то есть . Найдем проекцию вектора на орт (п. 7):

что и требовалось доказать.

Вычислим теперь или, что то же самое, , воспользовавшись другим способом вычисления скалярного произведения:

, (5.11.1)

где – угол между направлением орта и вектора . Анализ выражения (5.11.1) показывает, что наибольшее значение производная по направлению будет иметь тогда, когда , то есть . Таким образом, производная по направлению максимальна, когда это направление совпадает с вектором .

Определение 5.11.2. – есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания скалярного поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Выяснив физический смысл градиента, определим ориентацию вектора в скалярном поле. Как было сказано в п. 5.9, если скалярное поле имеет вид , то его геометрическим образом будет поверхность уровня . Нормаль к данной поверхности в точке имеет уравнение (п. 5.8):

.

Направляющий вектор этой нормали равен . Но эти же компоненты имеет и вектор , следовательно, он направлен нормально к поверхности уровня скалярного поля.

В плоском случае , и он ориентирован нормально к линиям уровня.

Для обозначения градиента скалярного поля часто используют векторный дифференциальный оператор , который называется оператором Гамильтона или оператором набла. Формально умножив вектор набла на скалярное поле , получим равенство

или

.

Следует иметь в виду свойства градиента, которые часто облегчают его вычисление:

1) ;

2) , где – константа;

3) ;

4) .