Понятие функции нескольких переменных

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие функции нескольких переменных

Ранее была рассмотрена функция одной независимой переменной. Однако, решая конкретные практические задачи, исследователь, в общем случае, сталкивается с такими явлениями, которые зависят сразу от нескольких независимых переменных величин. В качестве самых простых примеров этого можно привести необходимость вычисления площади прямоугольника либо объема параллелепипеда. Действительно, площадь прямоугольника определяется двумя независимыми друг от друга величинами – длинами сторон прямоугольника и :

.

Объем параллелепипеда определяется уже тремя независимыми величинами – длинами его ребер , , :

.

Можно привести и более сложные примеры. Иначе говоря, число независимых переменных величин может быть каким угодно. В этих случаях говорят, что искомая величина является функцией двух, трех или большего числа переменных.

Часто пытаются исключить второстепенные переменные и оставить только одну, основную, то есть пытаются получить функцию одной переменной. Но это не всегда возможно. Упрощение выражения дает часто функцию двух или трех переменных. Сразу же необходимо отметить, что исследование функций многих переменных имеет подобные методы. Поэтому для простоты будем изучать функции двух переменных и полученные результаты при необходимости обобщать затем на произвольный случай.

В случае одной переменной функция являлась оператором, который каждому элементу из множества ставил в соответствие один и только один элемент из множества .

Каким же образом определяется аргумент функции двух переменных? Так как мы исследуем функции действительных аргументов, то величина такой функции зависит от пары двух действительных чисел. С точки зрения теории множеств это не что иное, как произведение двух множеств и , к которым принадлежат переменные и .

Определение 5.1.1. Пусть , а , тогда произведение дает новое множество , каждый элемент которого содержит пару чисел .

Из определения 5.1.1 следует, что, зная множество значений и функции двух переменных, можно найти область ее определения. Очевидно, это будут все возможные комбинации и .

Произведение двух действительных числовых множеств и образует множество в пространстве . Графическое представление этого произведения – это плоскость или часть этой плоскости.

Определение 5.1.2. Функцией двух переменных называется соотношение, которое каждой паре чисел ставит в соответствие одно и только одно число .

Если имеется функция переменных, то ее областью определения будет пространство или его часть. Такое множество уже графически не представимо.

Функции двух переменных, так же как и функции одной переменной, можно представить с помощью таблицы, графика или аналитического выражения. Табличный способ наименее удобен, однако, при экспериментальном определении значения функции он может оказаться единственным. Более информативны графическое и аналитическое задание функции. При этом последний способ наиболее удобен, так как дает возможность провести полное исследование данного понятия.

Для графического представления функции двух переменных рисуют трехмерную систему координат, например, прямоугольную декартовую. На плоскости изображают область определения данной функции. В каждой точке области определения восстанавливается перпендикуляр, который имеет длину, равную значению функции в этой точке. Объединяя все полученные точки, получают некоторую поверхность (рис. 5.1.1). Таким образом, графически функция двух переменных – это некоторая поверхность. Для изображения функций большего числа переменных графический способ уже не применим.

Рис. 5.1.1

При аналитическом задании функции двух переменных записывается формула , при помощи которой по заданным значениям независимых переменных отыскивается значение функции. Увеличение числа переменных при аналитическом задании функции проблем не создает ( ).

При исследовании функции двух или нескольких переменных возникают те же понятия, что и для функции одной переменной: предел, непрерывность, приращения, производная.

Рассмотрим вначале сечения поверхности плоскостями и (рис. 5.1.2).

Так как на линии константой является , то на ней меняется лишь в зависимости от изменения . Если в точке задать приращение , то произойдет перемещение в точку . Разность аппликат в этих точках будет равна изменению значения функции , которое не будет зависеть от переменной .

Рис. 5.1.2

Таким образом, давая приращение , получаем приращение , которое называется частным приращением по и обозначается .

Аналогично определяется частное приращение по : .

Давая одновременно приращения переменным и , получаем полное приращение функции: . При этом необходимо иметь в виду, что .

Введем теперь понятие окрестности точки на плоскости.

Определение 5.1.3. -окрестностью точки с радиусом называется множество всех точек , которые удовлетворяют неравенству , или, иначе говоря, множество всех точек, которые лежат внутри круга радиуса с центром в точке (рис. 5.1.3).

Рис. 5.1.3

На основании определения -окрестности можно ввести понятие предела функции двух переменных. Пусть функция определена в некоторой области (рис. 5.1.3). Возьмем в этой области некоторую точку .

Определение 5.1.4. Число называется пределом функции при стремящемся к , если для любого существует такое , что для любого справедливо .

Определение 5.1.5. Пусть точка принадлежит области определения функции, тогда называется непрерывной в этой точке, если при любом стремлении точки к точке .

Приведенное в определении 5.1.5 равенство можно записать несколько иначе:

,

или .

Следовательно, в окрестности точки непрерывности функции ее полное приращение стремится к нулю при стремлении к данной точке.

Определение 5.1.6. Функция двух переменных называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Если в какой-то точке не выполняются условия непрерывности, то говорят, что это точка разрыва функции. Существуют следующие случаи:

1) определена во всех точках, кроме ;

2) определена во всех точках, но не существует предел ;

3) определена во всех точках, но .