ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА

Методические указания по контрольной работе № 8

для студентов заочного факультета всех специальностей

 

 

Магнитогорск

2011 г.

 

Составитель: Е.М. Гугина

 

 

Первичная обработка экспериментальных данных: Методические указания к выполнению контрольной работы № 8 для студентов всех специальностей заочного отделения. Магнитогорск: ГОУ ВПО «МГТУ им. Г.И. Носова», 2011. - 27 с.

 

Данные указания включают

-ход работы;

-пример выполнения работы;

-указание соответствующего теоретического материала и список вопросов для подготовки к защите работы.

 

Рецензент: Реент Н.А., доцент каф. мат. методы в экономике

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Основной задачей современной математической статистики, методы которой опираются на теорию вероятностей, является научная оценка результатов измерений. В таких задачах, как контроль качества продукции, подвергнуть контролю всю продукцию практически невозможно и особенно в тех случаях, где контроль связан с разрушением пробы или изделия, например, при испытании ламп и электронных трубок на долговечность и т.п.

Именно здесь и приходят на помощь методы математической статистики, посредством которых можно по известным свойствам некоторого подмножества объектов, взятого из совокупности, судить о неизвестных свойствах всех объектов, принадлежащих данной совокупности.

Задачи математической статистики состоят:

1) в указании способа группировки статистических данных,

2) в разработке методов анализа статистических данных:

а) оценки неизвестных функций распределения, плотности распределения вероятностей, оценки зависимости между случайными величинами,

б) проверки статистических гипотез о виде неизвестных распределений и т.д.

В данной разработке содержатся методические рекомендации для студентов заочного отделения при подготовке и выполнении контрольной работы № 8, вопросы для подготовки и сдачи теоретической части и подробные указания по выполнению практической, снабженные соответствующими примерами всех расчетов.

Для изучения теории и выполнения работы рекомендуется литература:

1. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. Вся высшая математика: Учебник. Т. 5.- М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 296 с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- Учебн. пособие для вузов. - М.: Высш. шк.,2003.-479 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- Учебн. пособие для вузов. - М.: Высш. шк.,2002.-405 с.
4. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL. Ростов-на-Дону: Феникс,2002. 348 с.
5. Кимайкина Н.И. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебные карты. Магнитогорск, МГМИ, 1991. 20 с.

6. Кимайкина Н.И., Кукушкина О.А. Элементы математической статистики. Методические указания к лабораторному практикуму. Магнитогорск: МГТУ, 2001. 30 с.

Теоретические вопросы

[Краснов и др. гл. XLIV, стр. 199 и далее,

Гмурман, гл. 16, §1-18, гл. 19, §1-6, 22, 23]

(какие понятия нужно знать, чтобы приступить к выполнению работы)

1. Генеральная и выборочная совокупности, способы организации выборки, объем совокупности, варианта, частота варианты, относительная частота варианты;

2. Статистический ряд, вариационный ряд, интервальный вариационный ряд, методика его получения группированием данных;

3. Эмпирическая функция распределения, способы её задания, полигон частот, гистограмма, выборочная оценка плотности вероятности.

4. Генеральные параметры (числовые характеристики) распределения - характеристики положения и рассеяния: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

5. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

6. Требования, предъявляемые к оценкам генеральных параметров (несмещенность, состоятельность, эффективность).

7. Статистическая проверка гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы.

8. Ошибки первого и второго рода.

9. Критерии значимости, критерии согласия.

10. Основные методы проверки нормальности распределения.

 

ХОД РАБОТЫ

1. Перед вами (в вашем варианте) сто чисел (Х) – статистический ряд объёма n =100. Упорядочите его по возрастанию. Данные запишите в таблицу и дайте ей номер1.

Для этого воспользуйтесь, например, Microsoft Excel: введите, например, в столбец А1-А100 все значения переменной Х, а в столбец В1-В100 – все значения переменной У. Скопируйте эти два столбца значений в любые соседние столбцы. Далее нам пригодятся и упорядоченные данные – для нахождения максимального и минимального значений, и исходные - для построения корреляционного поля и корреляционной таблицы. Теперь выберите встроенную функцию сортировки по возрастанию в верхнем меню, примените ее по очереди к первым двум столбцам (выделив их и нажав на кнопку сортировки). Сохраните результат (или распечатайте на принтере).

2. Запишите минимальное и максимальное значения совокупности Х (статистического ряда): .

3. Найдите размах варьирования измеримого признака:

.

4. Выберите число интервалов равным 7: r =7.

Замечание: Напомним, что число интервалов может быть выбрано произвольно. Выбор r зависит от объёма n, размаха R и от цели статистического исследования. Принято, чтобы получилось не менее 6 и не более 20 интервалов.

5. Определите, чему равен шаг варьирования признака (длина интервала будущего вариационного ряда Х).

.

6. Теперь найдем границы интервалов признака Х таким образом, чтобы минимальное значение стало серединой первого интервала, а максимальное – серединой последнего. Для этого отступим от на полшага, а к правому концу каждого интервала будем прибавлять длину шага:

, , , , ; ; ; ; .

Таким образом, фактическое число интервалов равно 8.

(Убедитесь в правильности своих подсчетов: значение должно быть больше максимального значения на полшага.)

7. Найдем середины получившихся интервалов:

, , , , , , , .

О верности подсчетов свидетельствует равенство (возможно приближенное) последних, восьмых, значений .

8. Составьте вариационный ряд измеримого признака Х .

Таблица 1

х

Здесь - число значений , попавших в соответствующий интервал .

(Проверьте: сумма абсолютных частот , где n – объём выборки.)

9. Заполните таблицу «Статистическая совокупность» :

 

(с помощью пунктов 6, 7 и 8 заполняем первые три столбца таблицы; данные в остальные столбцы вписываем после подсчета соответствующей формулы, записанной в ячейке таблицы)

Таблица 2

Статистическая совокупность измеримого признака Х

Интер-валы	Серед. интерв.	Частоты	Плот-ность относит. частот
Абсолют-ная	Относитель-ная	Накоплен. абсолютн.	Накоплен. относит.
			/ 100	=0	=0
			/ 100	=	=
…	…	…	…	…	…	…
			/ 100	=100-	=1-

 

10. По данным таблицы 2, постройте (см. пример):

а) полигон и гистограмму распределения – графические оценки плотности распределения вероятностей генеральной совокупности;

б) полигон накопленных частостей – график эмпирической функции распределения:

.

11. Запишите расчетные формулы для сгруппированных в r интервалов данных:

выборочного среднего ;

выборочной дисперсии ;

выборочного среднеквадратичного отклонения ;

выборочной асимметрии ;

выборочного эксцесса .

12. Заполните расчетную таблицу, взяв данные для первых трех столбцов из таблицы 2:

Удобно воспользоваться для этого таблицей EXCEL: скопируйте первые три столбца из таблицы 2 на «новое» место таблицы EXCEL, оформите заголовки колонок.

Таблица 3

Расчет выборочных оценок признака Х

Серед инт.	Частота	Относит. частота
…	…	…	…	…	…	…	…
	n

 

Для заполнения четвертого столбца, введите в первой строке четвертого столбца формулу содержимого этой колонки: произведение соответствующих ячеек первого и третьего столбцов нашей новой таблицы. Например, новая таблица располагается в ячейках А:101- H:101 (заголовок) и в нижележащих строках этих столбцов, тогда содержимое ячейки D:102 равно (А:102)*(С:102). Записывают расчетную формулу, «встав» в ячейку D:102 или в командной строке верхнего меню « »:

начиная со знака “=”, например: “=(A:102)*(С:102)”, нажимают ввод – в ячейке высветится результат. Скопировав первую строку D:102 в нижележащие строки этого столбца, автоматически заполним весь столбец.

Теперь находим сумму элементов этого столбца - среднее (ячейка D:110) - выделяем содержимое столбца и нажимаем мышью на значок автосуммы верхнего меню.

Заполняем оставшиеся колонки, вписывая необходимые формулы сначала в первые строки колонок, затем копируя в низлежащие. Например, в ячейке E:102 формула будет следующей: “=(A:102)-(D:110)”, в ячейке F:102 формула будет следующей: “=((E:102)^2)*(C:102)”, в ячейке G:102 формула будет следующей: “=((E:102)^3)*(C:102)”, в ячейке H:102 формула будет следующей: “=((E:102)^4)*(C:102)”. Просуммировав элементы соответствующих колонок (выделяем содержимое столбца и нажимаем мышью на значок автосуммы верхнего меню), находим ; ; .

13. По формулам (пункт 11) и по данным таблицы 3 (пункт 12), найдите выборочные оценки: выборочного среднего, выборочной дисперсии, выборочной асимметрии, выборочного эксцесса.

14. Найдите исправленные оценки (статистики) генеральных параметров:

- выборочное среднее = ; - исправленная дисперсия ;

- исправленное среднеквадратичное отклонение ;

-исправленная асимметрия ;

- исправленный эксцесс .

15. Найти моду и медиану по сгруппированным данным:

, где

- середина интервала (модального) с наибольшей частотой ;

- нижняя граница модального интервала (левый конец отрезка, на котором самое большое значение частоты ); h – длина интервала (см. пункт 5);

, где

- середина интервала (медианного), содержащего накопленную частоту , не превосходящую половины выборки ( );

- нижняя граница медианного интервала;

и - частота и накопленная частота соответственно этого интервала.

16. Для проверки гипотезы Но: генеральная совокупность измеримого признака, из которой извлечена выборка, распределена при данном уровне значимости =0,05 по нормальному закону с плотностью

, где

а и - параметры нормального распределения, необходимо:

- объединить интервалы (смотри пример) с абсолютными частотами , меньшими 5 , суммируя частоты;

- отметить, чему равно теперь r – число интервалов;

- записать число к - степеней свободы и по таблицам выписать ;

- заполнить расчетную таблицу для вычисления :

Таблица 4

Проверка гипотезыНо по критерию Пирсона

Левая граница интерв.	Правая гран. нтер.	Абс. Частота	Zi= =	Ф(Zi)
…	…	…	…	…	…	…	…
					1

 

где Ф(zi) – значение функции Лапласа для значений zi, записанных в предыдущем столбце,

= Ф - теоретическая вероятность попадания случайной величины Х, распределенной нормально, в интервал - (значение функции Лапласа можно найти по таблице приложения 2 ( см. [3] или [5]) или с помощью встроенной функции НОРМСТРАСП(z)).

Воспользуемся таблицей EXSEL для упрощения вычислений. Скопируйте первые три столбца табл. 3 на «новое» место таблицы EXCEL, оформите заголовки колонок.

Выполните «вручную» работу по объединению интервалов, для которых абсолютная частота , меньше 5: запишите в таблицу границы вновь полученных интервалов, их середины и новое значение абсолютной частоты, равной сумме абсолютных частот объединенных интервалов.

Подсчитайте количество полученных после объединения интервалов, найдите число степеней свободы к и (например, смотри приложение 5 [3, стр. 390]).

Для дальнейших вычислений удобно левую и правую границы интервалов оформить в отдельные столбцы, чтобы «обращаться» к номеру ячейки – левого (а для последнего интервала – и правого) конца интервала.

Приступим к заполнению четвертого столбца: запишите в первой строке этого столбца после знака ''='', формулу вычисления Zi= с помощью номеров ячеек, в которых содержатся , и .

Например, новая таблица располагается в ячейках А:101- H:101 (заголовок) и в нижележащих строках этих столбцов, тогда содержимое ячейки D:102 равно ((А:102)-37,67)/10,81 [взяты значения =37,67 и =10,81]. Записывают расчетную формулу, «встав» в ячейку D:102 или в командной строке верхнего меню « », начиная со знака “=”, например: “=((А:102)-37,67)/10,81 ”, нажимают ввод – в ячейке высветится результат. (Отметим, что кавычки при написании формулы на компьютере ставить не надо.) Скопировав первую строку D:102 в нижележащие строки этого столбца, автоматически заполним весь столбец. Добавим еще одно значение Zi , вычислив его для правого конца самого последнего интервала, взяв его значение в соответствующей ячейке. Таким образом, строк в четвертом столбце станет на одну больше, чем в первых трех столбцах.

Следующий, пятый, столбец заполним с помощью встроенной функции НОРМСТРАСП(z), или «вручную», взяв значения функции Лапласа Ф(Zi) в соответствующей таблице, например, в учебных картах [5] или учебнике [3, стр. 390, приложение 2].

Теоретическую вероятность (следующий, шестой, столбец) находим, «забивая» соответствующую формулу с указанием ячеек: например, в ячейке F:102 формула будет следующей: “=(E:103)-(Е:102)”; проследите за правильным заполнением остальных строк этого столбца. Отметим, что строк в этом столбце станет на одну меньше (первоначальное число строк).

Не будем описывать, как заполняются последние два столбца – это делается аналогично, с помощью введения в ячейки соответствующих формул; надеемся на то, что при выполнении первых двух работ вы освоили эти действия.

Заметим, что приближенные значения теоретических частот (предпоследний столбец) можно заменить целыми значениями, «округляя» их с тем расчетом, чтобы сумма всех теоретических частот этого столбца была равна объему выборки п = 100.

После того, как получен последний столбец, суммируем его содержимое, получая, таким образом, значение .

17. Сравните с и сделайте выводы о принятии гипотезы Но. (Если меньше , гипотеза принимается, иначе – гипотеза о нормальном распределении измеримого признака Х – отвергается.)

 

ПРИМЕР. На заводе железобетонных изделий N для создания марки бетона высокого качества проводилось исследование 100 различных пробных сортов бетона, для которых подсчитывался процент прочности на сжатие (случайная величина Х) и процент сопротивления того же сорта бетона на разрыв (случайная величина У). Получен следующий результат

Статистический ряд. Исходные значения величин

Х	У	Х	У	Х	У	Х	У	Х	У
38,4	18,7	40,7		30,3		27,3	25,1
40,2	11,7	50,8		28,4	15,7		20,6		28,6
24,1	20,9	38,2	22,8	47,6	11,3	52,8	15,2	19,5	19,7
32,5	22,4		19,8	30,3	21,3		24,5		20,3
	29,5	35,7	15,3	30,5	27,8		28,7	27,8	15,5
38,1	19,6	34,3	20,7	48,7	11,5	32,5		35,2	30,7
16,8	32,2	43,8		16,8	18,3	57,1	2,9	41,6	18,2
28,8	29,7	35,5		23,9	20,2		23,8	42,5	15,3
47,1	14,7	45,9		54,3	14,2	50,7	15,9	32,9	22,5
50,1	15,9	29,3	21,9	60,8	27,2	58,6	9,3	35,6	22,7
30,2		54,2	14,2	21,4	19,8	40,1	17,4		17,3
36,9	23,2	59,8	6,1	38,4		34,4	23,4	31,4	30,2
36,6	7,9	32,2	22,3	46,8	20,5	53,7	12,4	28,2
	15,4		6,1	23,8	18,3	42,1	28,5	33,7	19,8
		31,2	24,2	37,9	32,6		20,2	27,6	18,5
16,2	25,2	51,2	14,2	30,6	21,5	23,5	14,6	36,8	10,7
49,7	15,9	32,2	20,4		24,5	32,9	25,8	45,5	14,8
49,7	19,5	30,9	20,7	57,6	20,3		14,4	18,6	15,3
42,3	19,7	41,5	10,8	41,9	14,6	42,3	23,5	25,8	27,4
35,7	11,9	41,2	9,8	34,1	26,3	58,8	9,2	39,2	17,5

Найти эмпирическое распределение признака Х, построить графическое отображение распределения.