Определение скорости любой точки фигуры при плоском движении

Скорость любой точки тела равна геометрической (векторной) сумме скорости полюса и скорости точки, приобретаемой ею при вращении тела вокруг полюса (рис. 1.11,а)

(1.28)

Где – вектор угловой скорости, введенный также, как и при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси (здесь этот вектор располагается на оси, проведенной через полюс перпендикулярно плоскости движения); – радиус-вектор точки М, проведенный из точки А. Модуль вектора

: он направлен перпендикулярно отрезку AM в сторону вращения тела.

Численное значение скорости точки можно найти с помощью теоремы косинусов или разложения на оси произвольно выбранной системы координат. Для определения скоростей точек тела при плоскопараллельном движении важную роль играет следующая теорема: «Проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны». Заметим, что эта теорема справедлива для любого вида движения абсолютно твердого тела.

24. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела).

Рис.32

Один из таких методов дает теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.32), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ, находим

и теорема доказана.

25. Мгновенным центром скоростей (МЦС) называют точку подвижной плоскости, в которой расположено рассматриваемое сечение и скорость которой в данный момент времени равна нулю. Доказана теорема о том, что если тело движется не поступательно, то МЦС существует, и притом единственный. Из определения следует, что в общем случае в каждый момент времени МЦС находится в различных точках. Частным случаем является вращение тела вокруг неподвижной оси. Здесь МЦС расположен в любой момент времени на оси вращения. Если тело движется поступательно или мгновенно поступательно (скорости всех точек тела в данный момент времени равны по величине и направлению), то МЦС находится на бесконечно большом расстоянии от любой точки тела. Из векторной формулы (1.28) при определении скоростей любой точки плоской фигуры следует, что если в качестве полюса принять МЦС, т.е. , то и скорость любой точки тела находится так, как если бы тело в данный момент времени вращалось вокруг неподвижной оси, проходящей через МЦС. Отсюда видно, что скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС и перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС.

26. Способы определения положения мгновенного центра скоростей:

1) Если известны направления скоростей и двух точек А и В плоской фигуры, то МЦС ее Р определяется как точка пересечения перпендикуляров к скоростям и , проведенных из этих точек (рис. 1.12,а).

2) Если || и точки A и B лежат на общем перпендикуляре к скоростям этих точек, то МЦС Р находится в точке пересечения прямой АВ с линией, соединяющей концы векторов скоростей и (см. рис. 1.12,б,в).

3) При качении без скольжения плоской фигуры по неподвижному контуру МЦС находится в точке соприкосновения контуров (см. рис. 1.12,г).

4) Если скорости двух точек A и B тела и параллельны, а перпендикуляры к их скоростям не совпадают, то скорости всех точек тела равны, а МЦС Р находится в бесконечном удалении от этих точек и движение тела является мгновенно поступательным. Угловая скорость тела в данный момент времени равна нулю.

27. Ускорение любой точки тела равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки, приобретаемого ею при вращении тела вокруг полюса (см. рис. 1.11,б): (1.29)

где – вектор углового ускорения, введенный так же, как и при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. Модули векторов и :

причем 1-й из них направлен перпендикулярно отрезку AB в сторону углового ускорения, а 2-й – к полюсу A. Определять модуль вектора ускорения точки B целесообразно аналитически с помощью разложения слагаемых векторов на оси выбранной системы координат.

28. Мгнове́нный центр ускоре́ний — при непоступательном движении точка, находящаяся в плоскости движения тела, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

Положение мгновенного центра ускорений в общем случае не совпадает с положением мгновенного центра скоростей. Однако в некоторых случаях, например, при чисто вращательном движении, положение этих двух точек может совпадать.

Для того, чтобы определить положение мгновенного центра ускорений, необходимо к векторам ускорений двух различных точек тела провести прямые под равными углами μ. В точке пересечения проведённых прямых и будет находиться мгновенный центр ускорений. Угол μ должен удовлетворять равенству:

где

ε — угловое ускорение тела;

ω — угловая скорость тела.