Операторы в геометрических пространствах

Задача 3.Найти матрицу проецирования пространства V₃ на плоскость параллельно оси .

Решение.Базисные векторы переходят при проецировании в себя, вектор переходит в (нулевой вектор). Матрица оператора имеет вид:

.

Задача 4.Найти матрицу поворотапространства V₃ вокруг оси на угол .

j

Решение.При повороте вокруг оси вектор переходит в себя, а плоскость поворачивается на угол . Найдем координаты векторов – образов базисных векторов при повороте на угол . Проекции вектора равны , а вектора – (см. рис.), то есть .

Следовательно, матрица оператора поворотаплоскости на угол j имеет вид: , а матрица оператора поворотапространства вокруг оси на угол j имеет следующий вид:

.

Операторы в функциональных пространствах

Задача 5.Выбрав подходящий базис в пространстве многочленов степени не выше , найти матрицу оператора дифференцирования в этом базисе.

Решение. Выберем в базис . Т.к. , то матрица оператора дифференцирования в этом базисе имеет вид:

(мы ограничились, для простоты, случаем ).

Задача 6.Выбрав подходящий базис в функциональном пространстве , найти матрицу оператора сдвига аргумента на в этом базисе .

Решение.Выберем в базис . Применим оператор к базисным векторам (функциям). Получим:

Следовательно, матрица оператора сдвига аргумента в пространстве в базисе имеет следующий вид: .

Матричная запись действия оператора

Задача 7.Заданы матрица оператора и координаты вектора . Найти координаты вектора .

Решение.Координаты вектора определяются с помощью умножения матрицы оператора на столбец из координат вектора , то есть .

.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Выяснить, какие из заданных преобразований являются линейными и найти их матрицы.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2.Найти матрицы линейных преобразований пространства

1) Проецирования пространства на ось параллельно плоскости .

2) Симметрии пространства относительно плоскости .

3) Симметрии пространства относительно оси .

4) Поворотпространства вокруг прямой на угол 120°.

3. Выбрав подходящие базисы в функциональных пространствах, найти матрицы указанных линейных операторов.

1) Оператора дифференцирования на пространстве .

2) Оператора сдвига аргумента на пространстве .

3) Оператора дифференцирования на пространстве .

4) Оператора сдвига аргумента на пространстве .

4. Заданы координаты вектора и матрица оператора . Найти координаты вектора

1) ; ; 2) ; ;

3) ; ; 4) ; .

Ответы:

1.1) ; 3) .

В задачах2) и 3) преобразования не являются линейными.

2.1) 2) 3) 4) .

3.1)

2) 3) 4) .

4.1) 2) 3) 4) .

Тема 5. Определители