З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1.Для неколлинеарных векторов построить векторы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Даны векторы . Найти следующие векторы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Даны векторы . Найти следующие векторы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.При каких значениях и векторы и коллинеарные, если:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

5. Найти медиану треугольника , если:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

6. В параллелограмме точка лежит на стороне и точка лежит на стороне и .

Разложить векторы и по векторам :

1) 2)

3) 4)

7. Разложить вектор по векторам и , если:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Ответы:

2. 1) ; 2) ;

3) ; 4)

3.1) ; 2)

3) ; 4) .

4.1) ; 2) ; 3) ; 4)

5. 1) ; 2) ; 3) ; 4)

6.1) ; 2) ;

3) ; 4)

7.1) ; 2) ; 3) ; 4)

Тема 2. Векторные пространства

Линейные (векторные) пространства

Складывать и умножать на числа можно не только геометрические векторы. Существуют множества объектов самой разной природы, для элементов которых также определены операция сложения элементов и операция умножения элемента на число, при этом указанные операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над геометрическими векторами.

Определение. Множество Lназывается линейным (векторным) пространством, если в нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число (линейные операции), удовлетворяющие аксиомам линейного пространства, т.е. равенствам L1. – L8.

Линейные пространства обладают целым рядом общих свойств, которые будут изучены в данном курсе.

Множества V₁, V₂, V₃ геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве соответственно, являются примерами линейных пространств.

2.2. Координатное -мерное пространство

Выше было показано, что каждый геометрический вектор на плоскости задается двумя, а в пространстве тремя координатами, т.е. упорядоченным набором двух или трех действительных чисел. Важный пример линейного пространства дает многомерное векторное пространство, которое является естественным обобщением пространств геометрических векторов.

Рассмотрим множество упорядоченных наборов чисел .

Набор называется арифметическим вектором, а числа – его координатами. Арифметические векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. Линейные операции над арифметическими векторами вводятся покоординатно, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.

Определение. Множество арифметических векторов с введенными выше линейными операциями называется - мерным арифметическимили координатнымвекторным пространством.

Пространства , наряду с пространствами геометрических векторов, являются основными объектами изучения в данном курсе.