Определение случайной погрешности при известной функции распределения и ее параметров.

Случайные погрешности проявляются при многократных наблюдениях измеряемой величины в одинаковых условиях. Их влияние на результат измерения надо учитывать и стремиться по возможности уменьшать. Рассматривая математическое ожидание случайных величин, мы считали, что располагаем всей совокупностью, т. е. бесконечным множеством значений этой величины. При измерениях, даже с многократными наблюдениями, естественно, располагают конечным множеством результатов наблюдений и реализаций случайной погрешности. Как же в таких условиях оценить истинное значение измеряемой величины и случайную погрешность? Математическое ожидание и дисперсия считаются неизвестными. Отвечая на этот вопрос, теория вероятностей рассматривает задачу о наилучшей оценке параметров распределения вероятностей при конечном числе реализаций.

К оценкам случайной величины, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка параметра Q считается состоятельной, если  при , несмещенной, если , эффективной, если . Здесь Qi, – результат i-го наблюдения, n – число наблюдений.

Способы нахождения оценок конечного ряда наблюдений и показатели их качества зависят от законов распределения.

Для нормального распределения, а если поступиться эффективностью оценки, то и для всех симметричных распределений, в качестве оценки математического ожидания ряда равноточных наблюдений принимают среднее арифметическое ряда наблюдений:

При , если отсутствует систематическая погрешность, . Разность  представляет собой случайную погрешность при i-м наблюдении. Она может быть положительной и отрицательной. Случайные погрешности, входящие в , имеющие разные знаки, при суммировании взаимно уничтожаются. Среднее арифметическое независимо от закона распределения обладает следующими свойствами:

                                                                                                                           (3)

                                                                                                                        (4)

Свойство (3) используется для проверки правильности вычисления , свойство (4) вытекает из принципа Лагранжа и положено в основу широко используемого метода наименьших квадратов.

В качестве оценки дисперсии берется дисперсия отклонения результата наблюдения ,

а в качестве оценки СКО результата наблюдения – .                (5)

Подчеркнем, что формула Бесселя (5) характеризует среднее квадратическое отклонение (СКО) отдельного наблюдения. Поскольку мы вычисляем среднее арифметическое, которое необходимо для получения оценки (5), то, естественно, взять его за результат измерения. Среднее арифметическое зависит от числа измерений и является случайной величиной, которая обладает некоторой дисперсией относительно истинного значения величины Q_ИСТ.

В теории вероятностей показывается, что оценкой дисперсии среднего арифметического ряда наблюдений относительно истинного значения является:

.                                                                            (6)

Величина называется СКО результата измерений.

Таким образом, взяв за результат измерения , уменьшаем СКО в  раз по сравнению со случаем, если бы за результат измерения принималось любое одно из n наблюдении. Измерения с многократными наблюдениями и соответствующая обработка результатов позволяет уменьшить случайную погрешность и оценить ее. Оценки , являются так называемыми точечными оценками случайной погрешности. Они указывают интервал значений измеряемой величины, внутри которого находится истинное значение .