Примеры компактных операторов.

1.Простейшим примером компактного оператора является одномерный линейный оператор вида: , где  – фиксированный элемент из пространства , а  – фиксированный линейный функционал из пространства , которое является банаховым пространством.

2.Рассмотрим в пространстве  оператор , преобразующий  в себя и задаваемый бесконечной системой равенств  при условии, что двойной ряд  сходится. Такой оператор линеен и норма . Докажем что он компактен. Введем матричные линейные операторы  в пространстве , определяемые матрицами , следующим образом:

, где  при , и  при .

Иными словами, матрица  получается из матрицы , если элементы всех строк , начиная с , заменить нулями. Отсюда вытекает, что, если , то, каков бы ни был элемент , будет  при . Следовательно, совокупность значений каждого из операторов  конечномерна, а потому операторы  вполне непрерывны. Представим разность  с помощью матрицы. Из оценки  видно, что .

Следовательно, оператор  компактен. ([2], стр. 307).

3. В пространстве непрерывных функций  важный класс компактных операторов образуют операторы вида:

 (3), где функция  непрерывна на квадрате .

Покажем справедливость следующего утверждения: если функция  непрерывна на квадрате , то формула (3) определяет в пространстве  компактный оператор.

Действительно, в указанных условиях интеграл (3) существует для любого  из , то есть функция  определена. Пусть . На квадрате  функция   равномерно непрерывна по теореме Кантора, т.к. она непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве в . Значит,

.

Оценим разность :

, при .

Полученное равенство показывает, что функция  непрерывна, то есть формула (3) действительно определяет оператор, переводящий пространство  в себя.

Из этого же неравенства видно, что если  – ограниченное множество в , то соответствующее множество   равностепенно непрерывно. Таким образом, если выполняется неравенство , то ,

То есть ограниченное множество перейдет в равномерно ограниченное. Таким образом, оператор (3) переводит всякое ограниченное множество из  в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.е. предкомпактное по теореме Арцела.

Оператор Вольтерра

Рассмотрим оператор , где , в .

Для доказательства компактности оператора Вольтерра покажем, что множество , равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.

1) Равномерная ограниченность.

Оценим

,

а это значит, что множество равномерно ограниченно.

2) Равностепенная непрерывность.

По определению, равностепенная непрерывность означает, что

. Возьмем произвольную функцию . Найдем ее образ . Тогда .

Тогда, если положить , равностепенная непрерывность показана.

Таким образом, компактность оператора Вольтерра доказана.

Литература

1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ­­– М.: Физматлит, 2004.

2. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ [Текст] / Б.З. Вулих. ­­–Изд. 2, перераб. и доп. – М., 1967.

3. Князев, П.Н. Функциональный анализ [Текст] / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 2003.

4. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа [Текст] / Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1951.