Свойства компактных операторов

1. Из определения компактного оператора и ограниченности относительно компактного множества следует, что любой линейный компактной оператор является ограниченным, следовательно, непрерывным.

2. Если  – компактный оператор,  – ограниченный, то операторы  и   – компактные.

Доказательство. Если множество  ограничено, то множество  тоже ограничено. Следовательно, множество  относительно компактно, а это и означает, что оператор  вполне непрерывен. Далее, если  ограничено, то  относительно компактно, а тогда в силу непрерывности  множество  тоже относительно компактно, то есть оператор  вполне непрерывен. Теорема доказана.

([1], стр.241).

3. Если операторы  и  компактные, действующие из нормированного пространства  в нормированное пространство  и  – любые числа, то оператор  также компактен.

Доказательство. Пусть множество  ограничено. В его образе  возьмем произвольную последовательность элементов . Тогда существуют , при которых . Положим . При этом . Так как множество  компактно, а , то существует подпоследовательность , имеющая предел. Аналогично в компактном множестве  из последовательности  можно выделить подпоследовательность , имеющую предел. Но так как вместе с  сходится и последовательность , то существует , что и доказывает компактность множества , а, следовательно, оператор  компактен. ([2], стр.306).

4. Если  – последовательность компактных операторов в банаховом пространстве , сходящаяся по норме к некоторому оператору , то оператор  тоже компактен.

Доказательство. Для установления компактности оператора  достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность  элементов из , из последовательности  можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Так как оператор  компактен, то из последовательности.  можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть  (2) – такая подпоследовательность, что  сходится.

Рассмотрим теперь последовательность . Из неё тоже можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть  такая подпоследовательность выбранная из (2), что  сходится. При этом, очевидно, что тоже сходится. Рассуждая аналогично, выберем из последовательности  такую подпоследовательность , что  сходится и т.д. Затем возьмем диагональную последовательность . Каждый из операторов  переводит её в сходящуюся. Покажем, что и оператор  тоже переводит её в сходящуюся. Тем самым мы покажем, что  компактен. Так как пространство  полно, то достаточно показать, что  – фундаментальная последовательность. Имеем

.

Пусть , выберем сначала  так, что , а потом выберем такое , чтобы при всех  и  выполнялось неравенство  (это возможно, так как последовательность  сходится). При этих условиях из предпоследнего неравенства получаем, что  для всех достаточно больших  и . Таким образом свойство доказано. ([1], стр. 239).

5. Оператор, сопряженный компактному оператору, компактен ([1], стр.241).