Плоское тело с каналом.

Рассмотрим плоское тело, свободно двигающееся по гладкой плоскости. Внутри тела вырезан тонкий канал . Пусть в плоскости задана абсолютная система координат  и в точке  установлен “столбик”. В начальный момент тело расположено так, что этот столбик попадает в канал . На движение тела наложена односторонняя связь, состоящая в том, что “столбик” располагается в канале . Толщину “столбика” и ширину канала считаем нулевыми.

Дадим формальное описание этой системы. Свяжем с телом систему координат , начало которой  совпадает с центром тяжести тела. Будем считать, что канал  в теле это гладкая кривая, которая задается параметрически

, ,                                      (9.1)

где  – натуральный параметр, длина вдоль кривой . Сама кривая имеет длину . Положение тела можно было бы описывать тройкой координат , где  – координаты центра масс тела  в абсолютной системе, а  – угол наклона оси  связанной системы координат по отношению к оси  абсолютной системы. Однако, мы будем использовать тройку , где  – координаты начала абсолютной системы координат  в связанной системе. Переход от связанной системы координат к абсолютной производится поворотом на угол  относительно  и сдвигом на вектор . Поэтому первая и вторая тройки координат связаны соотношениями

                                                  (9.2)

а их скорости

    Обозначим  – центральный момент инерции тела, а его массу , для краткости записи, будем считать равной единице . По теореме Кенига кинетическая энергия тела  выражается соотношением

                                                           (9.3)

или, в координатах ,

Подставив сюда (9.1) получим лагранжиан системы

где , , . И использовано то, что  – это натуральный параметр и, поэтому, . На систему наложено две односторонних связи:             

, и                                                   (9.4)

Координата  является циклической и отделяющейся. Циклический интеграл имеет вид

Получаем редуцированную систему с функцией Рауса :

ограничениями (9.4). Это система с одной степенью свободы. Она интегрируется в квадратурах.

Рассмотрим случай абсолютно упругого удара. Для краткости введем обозначение

,

Система допускает интеграл энергии . Положение  является положением равновесия, если , и реакция связи направлена внутрь допустимой области. Несложно убедиться, последнее условие эквивалентно следующему .

Следуя [15], заключаем, что, если последнее неравенство – строгое, то положение равновесия устойчиво. В этом нетрудно убедится прямо. В самом деле, если , то при увеличении  от нуля величина  будет уменьшаться, а потенциальная энергия  будет увеличиваться. После удара о связь скорость будет равна

В обозначениях предыдущего раздела

, ,  

поэтому период малых колебаний равен

Все значения берутся при .   

Благодарности. Авторы весьма признательны А.П. Иванову, В.В. Козлову, и Д.В. Трещеву за советы и полезные обсуждения данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Панагитопулос П.Д. Неравенства в механике. М., Мир, 1986.

2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М., МГУ, 1991.

3. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited, 1996.

4. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., “Международная программа образования”, 1997.

5. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М., МГУ, 1997.

6. Schmaedeke W.W. Optimal control theory for nonlinear vector differential equations containing measures. SIAM J. Control, 1965, ser. A, vol. 3, N 2, pp. 231 – 280.

7. Buttazzo G., Percivale D. On the approximation of the elastic bounce problem on Riemanian manifolds. Journal of Differential equations, 1983, 47, 227-275.

8. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи. Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика. 1989, N 5, с. 59-66.

9. Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.

10. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Принцип Даламбера-Лагранжа в механических системах с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002, N 14 .

11. Березинская С.Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 16.

12. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Закономерности движения механических систем с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 15.

13. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., МГУ, 2000. [14] Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М., МГУ, 1970.

14. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. ПММ, 1984, т. 48, вып. 5, с. 725-732.