Основные законы динамики.

Для систем с идеальными удерживающими и односторонними голономными связями известны теоремы об изменении количества движения системы и о движении ее центра масс в точках мгновенного удара [13]. Эти теоремы верны и в общем случае, когда выход на границу односторонних связей не является мгновенным [10, 11]. Вывод этих законов почти дословно совпадает с традиционным выводом, применяющимся для случая только удерживающих связей. Отличие здесь состоит в использовании формулы Лейбница дифференцирования по частям. В пространстве функций с ограниченным изменением эта формула применима в следующем виде. Если  – абсолютно непрерывная функция, а  функция ограниченного изменения, то

                                                       (2.1)

Для краткости мы ограничимся формулировками основных законов. В качестве примера полное доказательство приводится только для теоремы об изменении импульса системы.

Теорема об изменении количества движения. Если удерживающие, и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления постоянного во времени, то проекция количества движения системы на это направление является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна суммарной проекции на это направление вектора активных сил.

Доказательство. Эта теорема непосредственно вытекает из аналогичного утверждения для сводных векторов системы. Введем сводный вектор импульса системы . Если удерживающие, и односторонние, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления  постоянного во времени, то проекция вектора импульса на это направление  является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна , т.е. равна проекции на это направление сводного вектора активных сил.

Докажем это. Пусть  – траектория движения системы. Для нее выполнены уравнения Лагранжа первого рода (1.5). Условие теоремы означает, что вектор  является касательным перемещением во все время движения, т.е.,

всегда и

, ,

в точках траектории, расположенных на границе односторонних связей, т.е. в тех точках, в которых сосредоточены соответствующие меры , , . Отсюда следует, что во все время движения

, , ,

Эти соотношения, понимаются как равенство мер Лебега-Стилтьеса. Домножив обе части (1.5) на , получаем

Поскольку  есть функция ограниченного изменения, то  явля­ется абсолютно непрерывной функцией и выполнено . Доказательство за­кончено.

Теорема об изменении момента количества движения. Если удержи­вающие и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поворот всех точек системы как твердого тела вокруг какой-нибудь постоянной оси проходящей через начало координат, то момент количества движения системы относительно этой оси является абсолютно непрерывной функцией и скорость его измене­ния равна суммарной проекции на эту ось век­торов моментов активных сил.