Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро

 

Начнем с простого замечания: если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то необходимо

Действительно, из  и  следует, что

 

 а тогда и

что и требовалось доказать.

Теорема (Фробениуса). Если ряд (А) суммируем по методу средних арифметических к конечной “сумме” А, то одновременно он суммируем также по методу Пуассона-Абеля и притом к той же сумме.

Доказательство. Итак, пусть . Ввиду сделанного вначале замечания очевидна сходимость степенного ряда

 

 

для 0< x<1. Выполнив дважды преобразование Абеля, последовательно получим

 

 

[при этом следует помнить, что ].

Известно, что (для 0< x<1)  или

 

 

Умножим обе части тождества на А и вычтем из него почленно предыдущее тождество:

 

Сумму справа разобьем на две:

 

 

Причем число N выберем так, чтобы при  было

 

 

где  - произвольное наперед заданное положительное число. Тогда вторая сумма по абсолютной величине и сама будет меньше  (независимо от ), а для первой суммы того же можно добиться за счет приближения x к 1. Этим и завершается доказательство.

Итак, мы установили, что во всех случаях, где приложим метод Чезаро, приложим и метод Пуассона-Абеля с тем же результатом.

Обратное же неверно: существуют ряды суммируемые методом Пуассона-Абеля, но не имеющие “обобщенной суммы" в смысле Чезаро. Рассмотрим, например, ряд

Так здесь явно не соблюдено необходимое условие суммируемости по методу средних арифметических, то этот метод не приложим. В то же время ряд

Имеет (при 0< x<1) сумму , которая при  стремится к пределу . Это и есть “обобщенная сумма" нашего ряда по Пуассону-Абелю.

Таким образом, метод Пуассона-Абеля является более мощным, то есть приложим в более широком классе случаев, чем метод Чезаро, но не противоречит ему в тех случаях, когда они оказываются приложимыми оба.

 

Теорема Харди-Ландау

 

Как и в случае Пуассона-Абеля, для метода Чезаро также могут быть доказаны теоремы “тауберовского” типа, устанавливающие те дополнительные условия относительно членов ряда, при наличии которых из суммируемости ряда по методу средних арифметических вытекает его сходимость в обычном смысле слова. Ввиду теоремы Фробениуса ясно, что каждая тауберовская теорема для метода Пуассона-Абеля приводит, в частности, к такой же теореме для метода Чезаро. Например, сама теорема Таубера перефразируется теперь так: если  и выполняется условие

 (9)

то одновременно и . Впрочем, здесь она непосредственно вытекает из легко проверяемого тождества

 

,

 

которое для данного случая указывает даже на необходимость условия (9).

Харди установил, что заключение от  к  можно сделать не только, если , но и при более широком предположении, что

 

 ( ).

 

Ландау показал, что можно удовольствоваться даже “односторонним” выполнением этого соотношения;

Теорема. Если ряд (А) суммируем к “сумме” А по методу средних арифметических и при этом выполняется условие  ( ),то одновременно и

.

 

[Изменяя знаки всех членов ряда, видим, что достаточно также предположить неравенство другого смысла:

 

.

 

В частности, теорема, очевидно приложима к рядам с членами постоянного знака.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим сначала сумму

 

,

 

где n и k - произвольные натуральные числа; путем тождественного преобразования она легко приводится к виду

 (10)

 

Если взять любое  (при ), то используя предположенное неравенство , можно получить такую оценку снизу:

 

,

 

откуда, суммируя по m, найдем

 

.

 

Отсюда, сопоставляя с (10), приходим к такому неравенству:

 

. (11)

 

Станем теперь произвольно увеличивать п до бесконечности, а изменение k подчиним требованию, чтобы отношение  стремилось к наперед заданному числу . Тогда правая часть неравенства (11) будет стремиться к пределу , так что для достаточно больших значений п будет

. (12)

 

Совершенно аналогично, рассматривая сумму

 

 

и проведя для  (при ) оценку сверху:

 

,

 

придем к неравенству

 

 

Отсюда

 

 

Если  и одновременно , как и прежде (но на этот раз пусть ), то правая часть этого неравенства стремится к пределу

 

.

Следовательно, для достаточно больших n окажется

 

. (13)

 

Сопоставляя (12) и (13), видим, что, действительно,

 

.

 

Теорема доказана.