Глава 2. Метод степенных рядов

Введение

 

Как мы уже знаем математический анализ, занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы или “пустоты". Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Такой казус существовал некоторое время и при изучении рядов, а точнее при изучении расходящихся рядов.

При изучении рядов заданному числовому ряду

 

 (А)

 

в качестве его суммы мы приписывали предел её частичной суммы , в предположении, что этот предел существует и конечен. “Колеблющийся" расходящийся ряд оказывался лишенным суммы и подобные ряды, как правило, из рассмотрения исключали. Естественно возникает вопрос о возможности суммирования расходящихся рядов в некоем новом смысле, конечно отличном от обычного. Этот вопрос возник ещё до второй половины XIX века. Некоторые методы такого суммирования оказались довольно-таки плодотворными.

В данной своей работе я хочу рассмотреть эти методы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболее применим, изучить связь между этими методами. Моя работа состоит из 4 глав, первая из которых содержит основные термины и определения необходимые для работы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами методы суммирования. Вторая и третья главы посвящены двум основным методам суммирования: метод степенных рядов и метод средних арифметических, а третья содержит сведения о других существующих, но реже применяемых методах. Каждая из четырех глав содержит примеры суммирования рядов по данному конкретному методу.

Глава 1. Основные понятия теории рядов

 

Определения и термины

 

Как мы упомянули вначале цель нашего исследования - расходящиеся ряды. А что же такое, вообще, ряд?

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

 

 (1)

 

Составленный из этих чисел символ

 

 (2)

 

называется бесконечным рядом, а сами числа (1) - членами ряда. Вместо (2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

 

 (2а)

 

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;

 

 (3)

 

их называют частичными суммами ряда.

Конечный или бесконечный предел А частичной суммы  ряда (2) при :

называют суммой ряда и пишут

 

,

 

Придавая тем самым символу (2) или (2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.

Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия:

 

 

Его частичная сума будет (если )

 

 

Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то  имеет конечный предел

 

 

то есть наш ряд сходится, и  будет его суммой.

При  та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если , то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. Отметим, в частности, любопытный ряд, который получается при a=1 и q= - 1;

… 1+ (-1) +1+ (-1) +1+…

Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.

2) Легко установить расходимость ряда

 

 

В самом деле, так как члены его убывают, то его n-я частичная сумма

 

 

и растет до бесконечности вместе с n.

 

Истоки проблемы

 

Различные факты из области математического анализа, как, например, расходимость, произведения двух сходящихся рядов, естественно выдвинули вышеупомянутый вопрос: “О возможности суммирования расходящихся рядов, в некоем новом смысле”.

Нужно сказать, что до создания Коши строгой теории пределов (и связанной с нею теории рядов) расходящиеся ряды нередко встречались в математической практике.

Хотя применение их при доказательствах и оспаривалось, тем не менее иной раз делались попытки придавать им даже числовой смысл.

Вспомним, опять, наш колеблющийся ряд

Еще со времен Лейбница в качестве "суммы" приписывалось число . Эйлер, например, мотивировал это тем, что из разложения

 

 

(которое в действительности имеет место лишь для ) при подстановке вместо х единицы как раз и получается

В этом уже содержалось зерно истины, но постановке вопроса не хватало четкости; самый произвол в выборе разложения оставлял открытой возможность, скажем из другого разложения (где п и т - любые, но )

 

 

получить одновременно

 

 

Современный анализ ставит вопрос по-другому. В основу кладется то или иное точно сформулированное определение “обобщенной суммы" ряда, не придуманное только для конкретно интересующего нас числового ряда, но приложимое к целому ряду классов таких рядов. Определение “обобщенной суммы" обычно подчиняется двум требованиям.

Во-первых, если ряду  приписывается “обобщенная сумма" А, а ряду  - “обобщенная сумма" В, то ряд , где p, q - две произвольные постоянные, то должен иметь в качестве “обобщенной суммы" число . Метод суммирования, удовлетворяющий этому требованию, называется линейным.

Во-вторых, новое определение должно содержать обычное определение как частный случай. Точнее говоря, ряд, сходящийся в обычном смысле к сумме А, должен иметь “обобщенную сумму", и притом также равную А. Метод суммирования, обладающий этим свойством, называют регулярным. Разумеется, интерес представляют лишь такие регулярные методы, которые позволяют устанавливать “сумму” в более широком классе случаев, нежели обычный метод суммирования: лишь тогда с полным правом можно говорить об “обобщенном суммировании”. Мы переходим к теперь непосредственно к рассмотрению особо важных с точки зрения приложений методов ‘обобщенного суммирования".

Глава 2. Метод степенных рядов

 

Суть метода

 

Этот метод, в существенном принадлежит Пуассону, который сделал первую попытку применить его к тригонометрическим рядам. Он состоит в следующем.

По данному числовому ряду (А) строится степенной ряд

 (1)

Если этот ряд для  сходится и его сумма  при  имеет предел А:

,

то число А и называют “обобщённой (в смысле Пуассона) суммой” данного ряда. Примеры.1) Ряд, рассмотренный Эйлером:

Здесь уже в силу самого определения приводит к степенному ряду, сумма которого  при  стремится к пределу . Значит, число , действительно, является “обобщенной суммой” указанного в точном установленном здесь смысле.

2) Возьмем более общий пример: тригонометрический ряд

 

 (2)

является расходящимся при всех значениях

Действительно, если  имеет вид , где и  - натуральные числа, то для значений , кратных , будет , так что нарушено необходимое условие сходимости ряда. Если же отношение  иррационально, то, разлагая его в бесконечную непрерывную дробь и составляя подходящие дроби , будем иметь, как известно,

 

 откуда

 

Таким образом, для бесконечного множества значений

 

, так что .

 

Это также свидетельствует о нарушении необходимого условия сходимости. Если образовать степенной ряд:

 

 

(здесь буква  заменяет прежнюю букву ), то его сумма при значении , отличном от 0, будет

 

 (3)

и при  стремится к 0. Таким образом, для  “обобщенной суммой” ряда будет 0. если , то ряд (2), очевидно имеет сумму, равную ; впрочем, выражение (3), которое в этом случае сводится к , также имеет пределом .

3) Аналогично ряд

 

,

 

который сходится лишь при  или , приводит к степенному ряду

 

.

 

Так что “обобщенная сумма" на этот раз оказывается равной  при  и равной нулю при .

Непосредственно ясно, что рассматриваемый метод “обобщенного суммирования” является линейным. Что же касается регулярности этого метода, то она устанавливается следующей теоремой принадлежащей Абелю.

2.2 Теорема Абеля [1]

 

Теорема. Если ряд (А) сходится и имеет сумму А (в обычном смысле), то для  сходится степенной ряд (1), и его сумма стремится к пределу А, когда .

Доказательство. Начнем с того, что радиус сходимости ряда (1) не меньше 1, так что для  ряд (1), действительно, сходится. Мы имели уже тождество

(где ); вычтем его почленно из тождества

 

.

 

Полагая , Придем к тождеству

 

 (4)

 

Так как  то по произвольно заданному  найдется такой номер , что , лишь только .

Разобьем сумму ряда в правой части (4) на две суммы

 

 

Вторая оценивается сразу и независимо от :

 

 

Что же касается первой, то она стремится к 0 при  и при достаточной близости  к 1 будет

 

 

так что окончательно  что и доказывает утверждение.

Если ряд (А) суммируем по Пуассону-Абелю к сумме А, то в обычном смысле, как мы видели, он может и не иметь суммы. Иными словами из существования предела

 

, (5)

 

вообще говоря, не вытекает сходимость ряда (А). Естественно возникает вопрос, какие дополнительные условия надлежит наложить на поведение членов этого ряда, чтобы из (5) можно было заключить о сходимости ряда ( ), т.е. о существовании для него суммы  в обычном смысле. Первая теорема в этом направлении была доказана Таубером.

 

Теорема Таубера

 

Теорема. Пусть ряд (1) сходится при 0< x<1, и имеет место предельное равенство (5). Если члены ряда (А) таковы, что

 (6)

то и

 

Доказательство. Разобьем доказательство на две части. Сначала

предположим, что  Если положить  то при  величина , монотонно убывая, стремится к нулю.

Имеем при любом натуральном N

 

 

так что:

 

 

Взяв произвольно малое число , положим

 

Так что  при . Пусть теперь  выбрано достаточно большим чтобы: выполнялось неравенство ; соответствующее x было настолько близко к 1, что

 

. Тогда

 

Что и доказывает утверждение теоремы.

К рассмотренному частному случаю теоремы приводится и общий. Положим

 

 так что

 и затем

 (7)

 

Но из предположения теоремы, т.е. из того, что  при , легко получить, что

 

. (8)

 

Для доказательства этого достаточно разбить здесь сумму на две:

 

 

и выбрать N таким, чтобы во второй сумме все множители  были по абсолютной величине меньшими наперед заданного числа , тогда и вторая сумма по абсолютной величине будет меньше , каково бы ни было х; относительно первой суммы, состоящей из определенного конечного числа слагаемых, того же можно достигнуть за счет приближения х к 1.

 

 

Но здесь уже можно применить доказанный частный случай теоремы, так что и

 

С другой стороны,

 

Отсюда, так как первое слагаемое справа стремится к нулю

 

 

Что и завершает доказательство теоремы.