Движение зарядов в газе

Одномерное электрическое поле вызывает движение электронов или положительных однозарядных ионов в газе. Направленная составляющая движения затруднена частыми соударениями зарядов с газовыми молекулами. Хаотическая составляющая подчиняется статистике Максвелла - Больцмана при повышенной за счет поля температуре газа электронов или ионов. Необходимо получить и проанализировать математические соотношения, связывающие среднюю скорость направленного движения зарядов и их температуру с напряженностью электрического поля, массой частицы, давлением и родом газа.

Между соударениями на длине свободного пробега заряды ускоряются полем в соответствии с законом Ньютона:

, (1.1)

где  и  - масса и заряд частицы,  - направленная составляющая скорости (вдоль оси , параллельной силовым линиям электрического поля),  - время,  - сила, с которой поле действует на частицу,  - модуль напряженности поля.

Приближенно полагая, что приобретаемая на длине свободного пробега направленная скорость полностью теряется при соударениях (в среднем по большому числу столкновений из-за равновероятности углов отражения частиц от молекул), интегрируем уравнение 1.1 с начальным условием  = 0 при = 0:

 (1.2)

где  - скорость направленного движения в конце свободного пробега,  - время между соударениями,  - длина свободного пробега,  - хаотическая составляющая скорости движения, которая значительно больше направленной и практически полностью определяет величину .

Средняя направленная скорость определяется соотношением:

 (1.3)

где  - средняя скорость направленного движения,  - скорость направленного движения в конце свободного пробега при определённых значениях длины пробега  и скорости хаотического движения ,  - вероятность появления пробега  (в диапазоне от  до ), - вероятность появления скорости  (в диапазоне от  до ). Коэффициент 0,5 усредняет скорость на длине свободного пробега. Интегрирование в формуле (1.3) соответствует обычной математической процедуре нахождения среднего значения и обеспечивает учёт частот появления различных значений  и .

В соответствии со статистикой Максвелла - Больцмана вероятности ,  и средняя скорость хаотического движения частиц  определяются соотношениями:

 (1.4)

 (1.5)

, (1.6)

где  - средняя длина свободного пробега;  - кинетическая энергия;  - постоянная Больцмана:  - температура заряженных частиц.

Из соотношений (1.2) - (1.6) после интегрирования получаем:

, (1.7)

, (1.8); (1.9)

где  - коэффициент пропорциональности, называемый подвижностью заряженной частицы;  - безразмерная константа, близкая к единице.

Входящая в формулу (1.9) средняя скорость хаотического движения зависит от температуры газа заряженных частиц [см. (1.6)]. Поэтому далее необходимо установить связь температуры с напряжённостью электрического поля, что может быть сделано из условия баланса энергии на длине свободного пробега в стационарном (установившемся) состоянии:

 (1.10)

где  - проекция средней длины свободного пробега на направление электрического поля,  - температура газовых молекул;  - коэффициент, показывающий, какую часть энергии заряженная частица теряет при упругом ударе с молекулой.

Левая часть уравнения (1.10) определяет энергию, приобретаемую частицей на длине свободного пробега за счёт ускорения полем, а правая - энергию, теряемую при ударе с молекулой. Произведения  и  по статистике Максвелла - Больцмана равны соответственно значениям средней энергии хаотического движения заряженных частиц и молекул газа. Разность этих произведений можно интерпретировать как среднюю энергию хаотического движения заряженных частиц при неподвижных молекулах. Величина находится из соотношения:

, (1.11)

обе части которого физически определяют (приближенно) среднее время между соударениями.

Объединение формул (1.6) - (1.11) даёт квадратное уравнение, из которого находится температура заряженных частиц:

. (1.12)

При записи этого соотношения приближённо положено, что величина . Входящий в уравнение коэффициент  находится по формуле, характеризующей упругий удар шарообразных тел:

, (1.13)

где - масса молекул газа. Длина пробега обратно пропорциональна давлению газа

:  (1.14)

где  - средняя длина пробега при единичном давлении. Соотношения (1.8), (1.9) и (1.12) с учетом формул (1.6), (1.13) и (1.14) определяют среднюю скорость направленного движения и температуру заряженных частиц в зависимости от напряжённости электрического поля, массы частиц, давления и рода газа.

Анализ результатов решения

Движение ионов. Случай отличается тем, что массы заряженных частиц и молекул газа приблизительно равны. В соответствии с формулой (1.13) коэффициент  близок к 0,5. Это означает, что при упругом ударе с молекулой ион теряет значительную (50%) часть своей энергии. Подстановка  = 0,5 в уравнение (1.12) обнаруживает, что для реальных условий температура ионов мало отличается от температуры молекул. Электрическое поле, ускоряя ионы, «разогревает» ионный газ, но он интенсивно «охлаждается» путём передачи энергии молекулам при упругих соударениях. Приближённо можно полагать, что температура ионов и средняя скорость их хаотического движения не зависят от напряжённости поля, а определяются температурой нейтрального газа.

В этих условиях от напряжённости поля не зависит также и подвижность ионов , а скорость направленного движения пропорциональна напряжённости [см. (1.8) и (1.9)]. Для рассматриваемого случая плоских электродов напряжённость не зависит от координаты и, следовательно, ионы в газе перемещаются с равномерной скоростью. Это существенно отличается от движения в вакууме, где заряды движутся равноускоренно и со значительно большей скоростью, поскольку они не соударяются с молекулами и не теряют энергию.

Подвижность ионов тем больше, чем меньше их масса [см. (1.9)]. Физически такая закономерность очевидна: лёгкие ионы способны двигаться быстрее. Из соотношений (1.8), (1.9) и (1.6) следует, что подвижность обратно пропорциональна . Поэтому подвижность ионов существенно (на порядки) меньше подвижности электронов.

В соответствии с формулами (1.9) и (1.14) подвижность обратно пропорциональна давлению газа. Физически это объясняется тем, что с ростом давления увеличивается число соударений ионов с молекулами и этим затрудняется направленное движение ионов. Аналогичный эффект наблюдается при переходе к более «крупным» молекулам газа, для которых характерна более малая длина свободного пробега. В результате, например, подвижность ионов водорода в водороде больше, чем в ксеноне.

Линейная связь между скоростью направленного движения и напряженностью поля нарушается лишь в области больших, не характерных для практики значений напряженности. Это следует из соотношения (1.12), которое показывает также, что ионы «разогреваются» при больших значениях произведения , определяющего энергию, приобретаемую зарядом на длине свободного пробега. Произведение пропорционально отношению напряжённости поля к давлению газа ( ), которое используется в теории как обобщённый аргумент.

Основное отличие случая заключается в том, что электроны при соударениях с молекулами теряют очень малую (10-3 - 10-5) часть своей энергии, поскольку масса электрона на 4 - 5 порядков меньше массы молекул, а коэффициент упругих потерь приблизительно равен  [см. (1.13)]. В результате энергия, приобретаемая электроном на длине свободного пробега за счет электрического поля, может быть передана молекуле в процессе соударения лишь при весьма большом значении абсолютной энергии частицы. Иными словами, баланс энергии на длине свободного пробега, необходимый для установления стационарного состояния, возможен лишь при высокой температуре электронного газа. Значительное повышение температуры обеспечивается тем, что поле «разогревает» хорошо «теплоизолированный» от окружающей среды газ. Ситуация аналогична бытовой: в доме тепло, когда работает отопление и обеспечена хорошая теплоизоляция помещения.

Соотношение (1.12), определяющее температуру, для случая электронoв приближенно может быть представлено в виде:

. (1.15)

Для характерных условий:  = 100 В / м,  = 0.0005 м (при давлении гелия 100 Па),  » 1,35 × 10 - 4 оценка по формуле (1.15) дает значение температуры около 15000 К. Столь высокая температура электронного газа наблюдается в условиях, когда температура нейтрального газа и стенок сосуда, в котором находится газ, близка к комнатной. Разность температур обусловлена тем, что электроны в отличие от молекул ускоряются полем и неэффективно передают энергию молекулам. Среднее значение энергии хаотического движения электронов сравнительно невелико - порядка 2 эВ (в телевизоре, например, электроны бомбардируют экран с энергией 25000 эВ), но это много больше средней энергии ионов и молекул (около 0.04 эВ). Сосуд, в котором заключен газ, при температуре электронов 15000 К не плавится, поскольку в процессе столкновения со стенками сосуда электроны передают им лишь малую часть своей энергии.

Интенсивный разогрев электронного газа полем существенно влияет на направленное движение электронов. Из соотношений (1.8), (1.9), (1.6) и (1.15) следует, что средняя скорость направленного движения электронов пропорциональна величине , тогда как для ионов скорость пропорциональна напряженности поля . Линейная связь скорости с напряжённостью для электронов наблюдается при очень малых значениях , когда поле слабо ускоряет заряды. Физически снижение крутизны зависимости  в области больших  объясняется тем, что при увеличении скорости хаотического движения электронов уменьшается время между их столкновениями с молекулами. В течение этого времени заряд ускоряется в направлении поля, и, следовательно, с уменьшением времени снижается скорость, до которой успевает разогнаться частица.

Рис. 1.1. Зависимости средней скорости направленного движения ионов , электронов , температуры ионов Тр и электронов Те от напряженности электрического поля для гелия при давлении 133,3 Па

Расчёт по полученным формулам скорости направленного движения и температуры электронов и ионов в зависимости от напряжённости электрического поля в гелии подтверждает отмеченные выше физические закономерности (рис. 1.1). Скорость ионов линейно увеличивается с ростом напряжённости и много меньше скорости электронов, которая увеличивается пропорционально . Температура электронов пропорциональна напряженности и значительно превышает температуру ионов.

Выводы:

- ионы в газе под действием электрического поля движутся с равно-

мерной скоростью, пропорциональной напряжённости поля; коэффициент пропорциональности называется подвижностью ионов;

подвижность тем меньше, чем больше масса частиц; подвижность ионов на 1 - 2 порядка меньше подвижности электронов;

подвижность обратно пропорциональна давлению газа;

электронный газ в сравнении с ионным «разогревается» полем значительно сильнее (до десятков тысяч К) за счёт того, что электроны при ударах с молекулами теряют очень малую часть своей энергии;

существенный рост температуры электронов нарушает линейную связь скорости направленного движения с напряжённостью поля: скорость пропорциональна величине ; линейность приблизительно сохраняется лишь при малых значениях .