Пример непрерывной функции без производной

Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

,

где 0<a<1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab>1+ π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.

Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у=cosωχ заменены колеблющимися ломаными.

Итак, обозначим через  абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s-целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.

 

Положим, затем, для к=1,2,3,…:

Эта функция будет линейной в промежутках вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.

Определим теперь, для всех вещественных значений x, функцию f(x) равенством

Так как, очевидно, 0≤ (k=0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция  всюду непрерывна.

Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до  (где n=0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:

≤  , где -целое.

 (n=0,1,2,…).

Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки  равно половине длины промежутка.

= ;

Ясно, что с возрастанием n варианта .

Составим теперь отношение приращений

=

Но при k>n, число  есть целое кратное периодам  функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k≤n, то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем

(k=0,1,…,n).

Таким образом, имеем окончательно  иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n. Отсюда ясно, что при  отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при  конечной производной не имеет.

 

 

 

 

 

 

Решение упражнений

Упражнение 1 ([2], №909)

Функция  определена следующим образом: . Исследовать непрерывность  и выяснить существование

Решение

На  непрерывна как многочлен;

На (0;1)  непрерывна как многочлен;

На (1;2)  непрерывна как многочлен;

На (2;  непрерывна как элементарная функция.

 - точки подозрительные на разрыв

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .

 

Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке  функция непрерывна в точке

 

 

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .

1 способ. В точке  не существует конечной производной функции   Действительно, предположим противное. Пусть в точке  существует конечная производная функции  непрерывна в точке  (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.

2 способ. Найдем односторонние пределы функции  в точке x=0.

 

 

 

Упражнение 2 ([1], №991)

Показать, что функция имеет разрывную производную.

Решение.

Найдем производную функции.

 При

 При

Предел  не существует  разрывна в точке  

Так как  – бесконечно малая функция,  - ограниченная.

Докажем, что функция  в точке  предела не имеет.

Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что  не сходится к  

 

 

 

 

 

 

Вывод: функция  в точке  предела не имеет.

Упражнение 3 ([1], №995)

Показать, что функция  где - непрерывная функция и  не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные

Решение.

Односторонние пределы не равны  функция  не имеет производной в точке .

Упражнение 4 ([1], №996)

Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках:

Решение.

Рассмотрим функцию  в точках

Найдем односторонние пределы

 

=

     =

Односторонние пределы не равны  функция  не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках

Упражнение 5 ([4], №125)

Показать, что функция  не имеет производной в точке .

Решение

Возьмем приращение  Дадим точке  приращение  Получим  

Найдем значение функции в точках  и

Найдем приращение функции в точке

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента

Перейдем к пределу

Вывод: не имеет конечной производной в точке .

Упражнение 6 ([4], №128)

Показать, что функция  не имеет производной в точке .

Решение

Возьмем приращение  Дадим точке  приращение  Получим  

Найдем значение функции в точках  и

Найдем приращение функции в точке

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента

Перейдем к пределу

 

 Вывод: не имеет конечной производной в точке .

Упражнение 7 ([4], №131)

Исследовать функцию на непрерывность

Решение.

На

На

 – точка подозрительная на разрыв

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна  в точке  существует разрыв Iрода.

 

 

 

Заключение