Предел функции в точке. Левые и правые пределы

Курсовая работа по математическому анализу

Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции»

Выполнила: Пляшешник Ксения

             студентка 131 группы                                           

                Руководитель: Делюкова Я.В.

Уссурийск – 2011г.

Содержание

Введение.............................................................................................. 3

Историческая справка......................................................................... 4

Основные определения и теоремы..................................................... 5

Пример непрерывной функции без производной........................... 10

 Решение упражнений........................................................................ 13

Заключение........................................................................................ 21

Список литературы........................................................................... 22

Введение

 Курсовая работа посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:

1. Изучить учебную литературу;

2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;

3. Прорешать систему упражнений.

 Историческая справка

 Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) — голландский математик.

Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете, где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.

Основные работы в области алгебры, алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики, где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.

Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию.

Основные определения и теоремы

Предел функции в точке. Левые и правые пределы

Определение (предел по Коши, на языке  Число  называется пределом функции  в точке , если

Определение (на языке окрестности) Число  называется пределом функции  в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует  - окрестность точки  такая, что как только

Определение (по Гейне) Число  называется пределом функции     в точке , если для любой последовательности , сходящейся к  ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

Определение Число  называется левым пределом функции  в точке , если

Определение Число  называется правым пределом функции  в точке , если

Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела)

Для того чтобы в точке  существовал предел функции  необходимо и достаточно, чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.