Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х) Х для любого х Х, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

отрезок [-5;5];

интервал [-3;3];

числовая прямая (- );

Примеры несимметричных множеств:

отрезок [-5;4];

интервал (-2;3);

луч [-10;+ );

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

1) область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

2) для любого х D(f) выполняется равенство

 

f(-x) = f(x)

 

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-х четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-х является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-х не является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

 

у=1+sin x; у = 2 ; у = .

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

 

f(-x) = f(x) (1)

 

или f(-x) = f(x) (2) для всех х D(f)

Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:

 

                                                _

                                              

 

                                   + 

                                             +        

 

 

                                               _

 

 

                        +

 

 

Пример : исследовать на четность и нечетность функции:

 

1) у = 8 ; 2) у =  ; 3) у = ; 4) у = .

Областью определения функции у = 8 является числовая прямая (- ; + ) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8 ;

f(-x) = 8 = 8 . Таким образом, f(-x) = f(x) , т.е. функция является чётной.

2) Областью определения функции y =  является промежуток (0; + ) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y =  не является ни чётной, ни нечётной.

3) Область определения функции у =  находится из условия  или (x – 1)(x + 1) , таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем

f(x) = ; f(-x) = = , т.е. функция у =  является чётной.

4) Функция у =  не определена при тех значениях x, при которых знаменатель  = 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (- ; -3)  (-3; 3)  (3; + ) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = ; f(x) =  = - .

Так как f(-x) f(x) и f(-x) -f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.

Свойство 1. Если y = f(x) и y =  (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.

Доказательство.

Пусть Функции y = (x) и y =  (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций

(x) и (x) соответственно:

(x) = f(x) + (x);  = f(x) - (x).

Так как по определению f(-x) = -f(x) и (-x) = - (x), то

(-x) = f(-x) + (-x) = -f(x) - (x) = - (f(x) + (x)) = - (x)

(-x) = f(-x) - (-x) = -f(x) + (x) = - (f(x) - (x)) = - (x).

Полученные равенства означают, что (x) и (x) – нечётные функции.

 

Свойство 2. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.

Доказательство

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф (x) и Ф (x) соответственно:

Ф (x) = f(x) (x); Ф (x) =  ( (x) 0).

Учитывая, что функции f(x) и (x) – нечётные, будем иметь:

Ф (-x) = f(-x) (-x) = (-f(x)) (- (x)) = f(x) (x) = Ф (x);

Ф (-x) =  =  =  = Ф (x).

Полученные равенства доказывают, что Ф (x) и Ф (x) функции чётные.

 

Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) – чётные функции , то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G (x),

разность функций G (x), произведение функций G (x), частное данных функций G (x) соответственно:

 

G (x) = f(x) + (x); G (x) = f(x) - (x); G (x) = f(x) (x);

G (x) =  (  0).

 

Докажем, что G (x), G (x), G (x), G (x) – чётные функции.

Доказательство

Учитывая, что f(x) и (x) – чётные функции будем иметь:

 

G (-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G (x);

G (-x) = f(-x) - (-x) = f(x) - (x) = G (x);

G (-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G (x);

G (-x) =  =  = G (x).

 

Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

F (-x) = f(x), (-x) = - (x).

Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) (x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.

Доказательство

Учитывая, что f(x) – функция чётная, а (x) – функция нечётная, будем иметь:

 

Q(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (- (x)) = -f(x) (x) = -Q(x).

Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.

Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Доказательство

Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.

Покажем, что существуют функции y = (x) и y = (x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что

y = (x) + (x) = f(x), где y = (x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функции.

 

Положим (x) = ; (x) = .

 

Тогда ясно, что (x) и (x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве X и

 

(-x) =  =  = (x);

(-x) =  =  = -  = - (x);

(x) + (x) =  +  =  =  =

=  f(x),

 

что и требовалось доказать.

Пример. Функцию y = 2  можно представить в виде суммы двух функций y = (x), где (x) = , и y = (x), где (x) = , причём функция y = (x) – чётная, а функция y = (x) – нечётная.

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т.е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.

Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число 0 такое, что выполняются следующие два условия:

1) для любого x из области определения функции y = f(x) числа (x + ) и (x – T) также входят в область определения и 2) для любого x из области определения выполняется равенство f(x + ) = f(x).

Число Т называют периодом функции y = f(x).

Замечание. Для периодической функции имеет место равенство

f(x – T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке (x – T) определена и

 

f(x) = f[(x – T) + T] = f(x – T).

 

Покажем, что если число Т есть период функции y = f(x), то любое из чисел nT, где n , n 0 является периодом этой функции.

Действительно, пусть n = 1, тогда согласно определению и замечанию:

а) точки (x + ) и (x – T) принадлежат области определения функции y = f(x);

 

б) f(x) = f(x + ) и f(x) = f(x – T).

Предположим, что для n = k справедливо утверждение точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1.

По предположению точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x) и Т есть её период. Следовательно, точки

[(x + kT) + T] и [(x – kT) – T], т.е. точки [x + (k + 1)T] и [x - (k + 1)T], принадлежат её области определения.

Итак, для любого x из области определения функции y = f(x) при любом n Z, n 0 точки (x + n ) и (x – nT) принадлежат области её определения.

Предположим, что для любого n = k справедливо утверждение

f(x) = f(x + kT) и f(x) = f(x – kT). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1. Действительно, так как Т является периодом функции y = f(x), то для точки (x + kT) имеем [(x + kT) + T] = f(x + kT), но по предположению

f(x) = f(x + kT) следовательно, f(x) = f[x + (k + 1)T].

Аналогично для точки (x – kT) доказывается, что f(x) = f[x - (k + 1)T], т.е. для любого целого отличного от нуля n утверждение f(x) = f(x + nT) и

f(x) = f(x - nT) доказано.

Число Т называется главным периодом, если оно положительно и является наименьшим среди всех положительных периодов, т.е. из положительных периодов функции y = f(x) (если он существует) называют её основным (главным периодом).

Рассмотрим примеры.

Пример №1. Функция y ={x} ({x} – дробная часть числа х) – периодическая. Заметим, что по определению  = х – [х], где [x] – целая часть числа х. Область определения данной функции - вся числовая прямая, поэтому для любого действительного числа х и любого T x, Т 0 числа (х + Т) и (х - Т) принадлежат области определения рассматриваемой функции и f(x +T ) = {x+T} = x + T – [x + T] = x + T –([x] + T) = x + T – [x] – T = x – [x] = {x}, где Т  Z, T 0.

 

Таким образом, функция у = {x} – периодическая с периодом Т, где Т  Z, T 0.

Наименьшее целое положительное число равно единице. Следовательно, основной период данной функции Т = 1.

Построим график функции у = {x}.

Для этого сначала построим график функции на промежутке х  [0;1), длина которого равна основному периоду функции. Если х  [0;1), то {x} = x, то есть на этом промежутке имеем у = х.

Весь график функции у = {x} получим параллельным переносом графика функции у = {x}, где х [0;1) вдоль оси абсцисс на  = 1.

 

Пример № 2

Функция Дирихле – периодическая с периодом T = r, где r = Q.Действительно,

 

D(x) =

D(x + r) =

Так как r – рациональное число, то сумма х + r - рациональное число, как сумма двух рациональных чисел; с другой стороны, х + r - иррациональное число, как сума иррационального и рационального чисел.

Следовательно, D(x + r) = D(x).

Пример № 3

Функция y = sin  не является периодической, так как, например для числа

х = 0 число (х – Т) при Т > 0 или число (х + Т) при Т < 0 не принадлежат области определения данной функции.

Пример № 4

Найти период функции

y = A sin (mx + ), где А, m,  - постоянные величины, A 0, m 0,

x – аргумент.

Область определения функции – числовая прямая, поэтому числа (х Т) R, где Т 0. Пусть основной период данной функции равен Т. Тогда для данной функции при любых действительных х рассмотрим равенство

 

A sin (m (x + T) + ) = A sin (mx + ).

Следовательно,

A (sin (m (x + T) + ) – sin (mx + ) = 0.

 

Применяя формулу разности синусов, будем иметь:

 

2А sin  cos  = 0

2А sin  cos  = 0

2А sin  cos  = 0

2А sin  cos  = 0

 

Это произведение должно равняться нулю независимо от значений х.

Так как х - переменная величина, то 2cos 0, А 0 по условию, тогда sin  = 0, откуда следует

 

 = , или , где n Z.

 

Из множества значений Т наименьшее положительное значение получим при наименьшем положительном значении n = 1, значит период данной функции

 

.

 

Заметим, что период функции у = А sin (mx + ) не зависит от A и .

Аналогично можно найти основные периоды и остальных тригонометрических функций.

Таким образом, функции

y = sin x и y = cos x имеют основной период Т = 2

у = tg x и у = ctg x имеют основной период Т = ,

а функции у = sin (mx + ) и у = cos(mx + ) имеют основной период Т = .

Функции у = tg (mx + ) и у = ctg (mx + ) имеют основной период Т = .

Отметим некоторые свойства периодических функций. Заметим, что сумма разность, произведение и частное двух периодических функций может быть функцией как периодической, так и не периодической.

Теорема 1. Если периодические функции y = f₁ (x) и y = f₂ (x), x Î X, имеют один и тот же период T, то их сумма, разность, произведение тоже будут периодическими функциями и число Т будет их периодом.

ДоказательствоТак как функция y = f₁ (x) – периодическая с периодом Т ¹ 0, то для любого x Î X выполняется равенство

 

f₁ (x +Т) = f₁ (x) (1)

 

Так как функция y = f₂ (x) – периодическая с периодом Т ¹ 0, то для любого x Î X выполняется равенство

 

f₂ (x +Т) = f₂ (x) (2)

 

Рассмотрим функцию z (x) = f₁ (x) ± f₂ (x), заданную на множестве X. Тогда для любого x Î X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

 

z (x +T) = f₁ (x +T) ± f₂ (x +Т) = f₁ (x) ± f₂ (x) = Z (x).

 

Последнее равенство доказывает периодичность функции z (x) представляющей собой сумму или разность двух периодических функций с одним и тем же периодом Т.

Рассмотрим функцию t (x) = f₁ (x)×f₂ (x), заданную на множестве Х. Тогда для любого x Î X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь

 

t (x +T) = f₁ (x +T) ×f₂ (x +Т) = f₁ (x) ×f₂ (x) = t (x).

Данное равенство доказывает периодичность функции t(x) представляющей собой произведение двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, причем число Т является периодом как функции t(x), так и функции z(x).

Замечание. Если число Т было наименьшим положительным периодом (т.е. основным периодом) двух заданных функций, то после их сложения или умножения Т может перестать быть наименьшим из положительных периодов.

Пример 5. Функция f₁ (x) = 3 sin x + 2 имеет основной период 2p, функция f₂ (x) = 2 – 3 sin x имеет основной период 2p, а их сумма

 

z (x ) = f₁ (x) +f₂ (x) = 3 sin x + 2 + 2 – 3 sin x = 4

 

наименьшего положительного периода не имеет, так как при любом действительном значении a ¹ 0 z(x+a) = z(x), т.е. любое действительное число является периодом функции z(x), а наименьшего положительного среди действительных чисел нет.

Пример 6. Функция j₁(x) = sin x +1 и j₂(x) = 1- sin x имеют наименьший положительный период 2p, а для произведения

 

t(x) = j₁(x) × j₂(x) = (sin x +1)(1- sin x) = 1- sin²x = cos²x =

 

наименьшим положительным периодом есть число p .

Определение Периоды функций Т₁ и Т₂ называются соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа m и n, что m×T₁ = n×Т₂.

Пример 7. Выясним, являются ли соизмеримыми периоды Т₁ =  и

Т₂=

Решение. Данные периоды будут соизмеримыми, если уравнение ×m = ×n имеет решение на множестве Z \ {0}. Умножим обе части данного уравнения на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), получим равносильное уравнение 4m = 15n, откуда m = 15k, n = 4k, где k Î Z \ {0}. Например, при k = 1 получим

 

× 15 = ×4 = 10

 

Ответ: Периоды Т₁ и Т₂ соизмеримы.

Теорема 2. Если периодические функции y = f₁(x) и y = f₂(x), x Î X, имеют соизмеримые периоды Т₁ и Т₂ то они имеют общий период.

Доказательство. Так как периоды Т₂ и Т₂ соизмеримы, то существуют целые отличные от нуля числа m и n такие, что m ×T₁ = n × T₂ = T ¹ 0. Следовательно, Т – общий период функций y = f₁(x) и y = f₂ (x). Теорема доказана.

Замечание. По теореме 1 число Т будет также периодом функций

 

z (x)= f₁(x) ± f₂ (x), t(x) = f₁(x) f₂ (x).

Пример 8. Найти период функции

 

f(x) = sin2x + 3sin(3x-2) - cos( x +1).

Решение. Так как период синуса равен 2p, функция sin2x имеет период = p функция sin(3x-2) = sin(3x-2 + 2p) = 3sin3(x- + ) и ее период равен . Аналогично, функция - cos( x +1) имеет период = p.

Для того, чтобы найти общий период функции, представим периоды

Т₁ = p; Т₂ = p и Т₃ = p в другом виде, а именно, коэффициенты при p в полученных периодах приведем к общему знаменателю, получим

Т₁ = p = 6× ; Т₂ = p = 4×  и Т₃ = p = ×p и найдем наименьшее общее кратное числителей этих коэффициентов 6, 4 и 15. Оно равно 60. Следовательно, число Т = 60×  = 10p – основной период данной функции.

Пример 9. Найти период функции y = cos5x-sin2x.

Решение. Функция y = cos5x имеет период T₁ = ; функция y = sin2x – период Т₂ =  = p. Представим периоды Т₁ и Т₂ в другом виде: Т₁ = 2× ; Т₂ = 5× . Таким образом видно, что периоды Т₁ и Т₂ соизмеримы: 5Т₁ = 2Т₂, откуда 5×  = 2×p = 2p. Следовательно, число 2p является периодом данной функции.

Пример 10. Найти основной период функции y = sin²x.

Решение. Понизим степень функции y = sin²x. Тогда y = =

- cos2x. Период этой функции равен периоду cos2x = p. Таким образом основной период данной функции равен p.

Замечание. Если Т₁ и Т₂ – основные периоды функций f₁(x) и f₂(x), то наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее условиям:

Т = mT₁ = nT₂, где m, n Î Z \ {0}, не обязательно является основным периодом функций f₁(x) ± f₂(x) и f₁(x) × f₂(x).

Например, основные периоды функций y = cos2x + sinx и y = -sinx равны 2p, а основной период их суммы y = cos2x равен p.

Или, вернемся к примеру 6 и посмотрим на функцию y = sin²x как на произведение функций y = sinx ×sinx. Основной период функции y = sinx есть число 2p, но решая пример 6, мы показали, что основной период функции

y = sin²x равен p.

Заметим, что сложная функция, промежуточным аргументом которой служит периодическая функция, есть функция периодическая, причем периоды этих функций совпадают. Докажем

Теорему 3. Если y = f(j(x)) – сложная функция, где j(x) – периодическая функция с периодом Т, то и сложная функция периодическая с периодом Т.

Доказательство. Так как j(x) – периодическая функция с периодом Т, то для любого действительного x из области определения функции j(x) имеем

 

j(x + Т) = j(x),

 

тогда для функции y = f(j(x)) при любом действительном х из области определения функции j(x) будем иметь

 

j(x + Т) = f (j(x)) = f(j(x)) = y(x).

 

Последнее равенство доказывает, что функция y = f(j(x)) периодическая с периодом Т.

Пример 11. Функция y = cos3x периодическая с периодом  = p. В силу теоремы 3 функция y = 5cos²2x + +3 периодическая с периодом p.

Рассмотрим примеры на доказательство периодичности или не периодичности функций.

Пример 12. Доказать, что функция y = sin  не является периодической.

Доказательство. I способ: D(y) = [0;+¥). Пусть положительное число

Т – период данной функции, тогда должно выполн