Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции

Принципиально важным вопросом при формировании понятия функции является вопрос об области определения функции и области значений функции. Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.

Напоминаем, что областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)) называется множество Х, на котором определяется функция f.

Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как

f (x) = , D(f) = [0; ]

Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) =  имеет смысл при всех х R.

Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.

Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.

Пример:

у = ,

определенная на отрезке [-6;-1], у = , определенная на промежутке (0;+ ), это разные функции.

Косинус, определенный, например, на отрезке [0; ], косинус, определенный на отрезке [ , и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.

Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть дана функция

y = .

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых log sin x 0 и sin x>0. Так как , то для 0 < sin x < 1 log sin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

log sin x = 0

log sin x = log 1

sin x = 1, откуда

 x =  + 2 n, n Z.

Таким образом, D(y) = { +2 n , n Z}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

log sin (  + 2 n) = log 1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = .

Решение:

Составим уравнение  = а, и исследуем множество его решений.

При а  0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х = а  или х = 1 - а . Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а  0, откуда а [-1;1], но с учетом, а  0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а [0;1], поэтому E(y) = [0;1].

3. Найти область определения функции

y =  + .

Решение:

Функция y  =  определена для значений x 0;

Функция y  =  определена для значений 4+x 0;

Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x (-4;0]. Он и есть область определения данной функции.

Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.