Расчет усилий в стержнях фермы 2

 

Определение усилий в стержнях фермы аналитическим методом вырезания узлов

Для определения усилий в стержнях 1-11 вырежем узлы I-VII (см. рис. 6) и рассмотрим равновесие сил, приложенных к каждому из них. При этом необходимо учесть, что . Составим систему уравнений для каждого узла, начиная с первого. Сумма проекций всех сил на ось Ox будет соответствовать первому уравнению для каждого узла, а сумма всех проекций на ось Oy – второму уравнению.

Узел I.  

 

Узел II. 

 

Узел III.

 

Узел IV.

 

Узел V.

Узел VI.

 

Узел VII.

 

Зная реакции опор, найдем усилия всех стержней.

Из уравнений I (где римская цифра означает уравнения проекций сил, действующих на соответствующий узел, на оси координат):

 

 

Из уравнений IV:

 

Из уравнений III:

 

 

Из уравнений VI:

 

 

Из уравнений VII:

 

Из уравнений VI:

 

 

Из уравнений II:

 

 

Из результатов расчетов следует, что реакции стержней 1-4, 6, 8, 9-10 имеют направления, противоположные принятым на расчетной схеме. Следовательно, эти стержни сжаты.

Определение усилий в стержнях фермы методом Риттера

Найдем усилия в стержнях 3, 9 и 11. Для этого рассечем данные стержни как показано на рисунке 8.

Из рисунка видно, что усилие в стержне 9 легко находится, если составить уравнение суммы моментов всех сил относительно точки D:

 

 

Усилие в стержне 3 легко находится из уравнения суммы проекций всех сил на ось Oy:

 

И, наконец, усилие в стержне 6 найдем из уравнения суммы проекций всех сил на ось Ox:

 

Сравним полученные результаты с теми, что были получены в математическом пакете MathCAD:

 

 

 

Числа 1-11 – соответствующие стержни, 12 - , 13 - , 14 -

Определение опорных реакций фермы 3

 

На рисунке 9 изображена ферма с опорами и действующими на неё активными силами. На рисунке пронумерованы все узлы и стержни.

Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей . Расчетная схема изображена на рис. 10. На ферму действуют активные силы ( ) и реакции опор. Стержень А заменим одной горизонтальной силой, стержень B заменим одной вертикальной силой, стержень С одной силой, направленной под углом  к горизонтали. Таким образом, ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.

Выбрав систему координат, составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

 

   (7)

(8)

 

(9)

 

Из уравнения (9):

 

 

 

Преобразуем знаменатель:

 

Определим, при каких условиях знаменатель обращается в 0:

 

 

Следовательно, при постановке задачи следует учитывать это ограничение на угол  и задавать для него значения, далекие от . Например,

Подставив значения активных сил и углов, найдем значение реакции опоры

 

.

 

Из уравнения (7):

 

 

Из уравнения (8):