Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

1 .

 

Найдем решение:

 

;

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

Сделаем проверку:

 

;

Четная часть общего решения:

 

2 .

 

Найдем решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

Сделаем проверку: ;

 

; , четная часть общего решения

3 .

 

Найдем решение:

 

 

 

 

 

 

                             

 

         .

 

Сделаем проверку:

 

 

 

 

 

 

 

 Таким образом:  Четная часть общего решения

 

 

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:

 

 

 

где  и  – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

 

 

 

                                           (4.1)

 

Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.

Семейства решений с постоянной четной частью

 

Рассмотрим систему

 

                                (5.1)

 

Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда  не будет зависеть от .

Рассмотрим уравнение . Его решение

 

.

 

Возьмем отражающую функцию  системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:

 

 (5.2)

Если четная часть будет представлена константой, то

 

.  (5.3)

 

Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (5.1), имеем:

.

 

Воспользуемся соотношением (1.4)

 

 

 

                                                   (5.4)

 

Таким образом, приходим к теореме:

Теорема: Если система вида  (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество

                                         (5.4)

 

 

Заключение

 

Мы исследовали понятие «отражающей функции».

Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.

На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.

Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

 

 

Литература

 

1. Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.

2. Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.

3. Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.

4. Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.

5. Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.