Определение и свойства отражающей функции

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Курсовая работа

"Семейства решений с постоянной четной частью"

Гомель, 2005

Реферат

 

В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.

В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Библиография – 5 названий.

 

 

Содержание

 

Введение

1. Определение и свойства отражающей функции

2. Простейшая система

3. Система чет-нечет

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Заключение

Литература

 

 

Введение

 

Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.

Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

 

 

Определение и свойства отражающей функции

 

Рассмотрим систему

 

, (1.1)

 

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через  обозначим интервал существования решения

Пусть

 

.

Определение: Отражающей функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой  (*) или формулами .

Для отражающей функции справедливы свойства:

1). Для любого решения , системы  верно тождество

 

;                                               (1.2)

 

2). Для отображающей функции  любой системы выполнены тождества:

 

;                                           (1.3)

3). Дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (1.1)тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

 

       (1.4)

 

и начальному условию

 

.                                    (1.5)

 

Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения  системы (1) верны тождества . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку  проходит некоторое решение  системы (1.1), и следуют тождества (1.3).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть  – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по  и воспользуемся тем, что  – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество

 

 

 

из которого в силу произвольности решения  следует, что  – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция  удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция  должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Основная лемма. Пусть правая часть системы (1.1)  – периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле

 

,

 

и поэтому решение  системы (1.1) будет  – периодическим тогда и только тогда, когда  есть решение недифференциальной системы

 

  (1.6)

 

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция  – периодична и нечетна по , т. е.  и . Тогда всякое продолжение на отрезок  решение системы (1.1) будет  – периодическим и четным по .

Для доказательства достаточно заметить, что функция  удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение . Согласно основной лемме любое продолжимое на  решение системы (1.1) будет  – периодическим. Четность произвольного решения  системы (1.1) следует из тождеств , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

Простейшая система

 

Простейшей называют систему вида

 (2.1),

где  – отражающая функция этой системы.

Теорема: Пусть  (2.2) простейшая система, тогда , где - отражающая функция системы (2.2).

Если система простейшая,

 

;

 

.

Замечание. Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.),из него определить функцию , обладающую свойством  и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.

Система чет-нечет

Рассмотрим систему

 

      (3.1)

 

Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а.) Функция  непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;

б.) Правая часть системы (3.1)  – периодична по .

Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок  решение  этой системы будет  – периодическим тогда и только тогда, когда

 

,

 

где  – есть нечетная часть решения .

Пусть  –  – периодическое решение системы (3.1). Тогда . Необходимость доказана.

Пусть  – решение системы (3.1), для которого . Тогда , и поэтому . Таким образом, точка  есть неподвижная точка отображения за период, а решение  –  – периодическое.

Доказанная лемма вопрос о периодичности решения , сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно  можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1).Дифференцируемые функции ; , удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:

 

 (3.2)

 

Так как  решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2)  на  и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество

 

                         (3.3)

 

Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:

 

;

 

.

 

Таким образом, вектор-функция

 

          (3.4)

Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка

 

: ;

 

 

При этом . Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.