Вычисление некоторых интегралов.

Формула Стирлинга

 

  Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

 

 

 где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем

 

 

и на основании (2.8) имеем

 

(4.1)

 

В интеграле

 

 

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

 

 

 

Интеграл

 

Где s > 0,разложить в ряд

 

 

=

 

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

 

 

связанные неравенством

 

Разлагая,  в ряд имеем

 

 

 

 Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

 

                                   (4.2)

 

  Непрерывна на интервале (-1, ) монотонно возрастает от  до  при изменении   от    до  и обращаются в 0 при u = 0.Так как

 

 

то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем

 

 

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

 

 

 

 Из предыдущего следует, что существует обратная функция,  определенная на интервале  непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,   

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

 

(4.3)

 

Формулу Стирлинга выведем из равенства

 

 

полагая ,имеем

 

 

Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и  при  .Замечая что(см.4.2)

 

 

 

имеем

 

, 

полагая на конец , ,получим

 

 

или

 

 

 

в пределе при т.е. при (см 4.3)

 

 

откуда вытекает формула Стирлинга

 

 

которую можно взять в виде

 

(4.4)

 

где  ,при  

для достаточно больших  полагают

 

 (4.5)

 

вычисление же производится при помощи логарифмов

 

 

если  целое положительное число, то  и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

 

 

приведем без вывода более точную формулу

 

 

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

 

Примеры вычисления интегралов

 

Для вычисления необходимы формулы:

 

Г( )

 

Вычислить интегралы

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                          

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

 

Г(z+1)=(z+g+0.5)^z+0.5exp(-(z+g+0.5)) [a₀+a₁/(z+1)+a₂/(z+2)+...+a_n/(z+n)+eps]

 

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10^-10. Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции -  логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C₀(C₁+C₂/(x+1)+C₃/(x+2)+...+C₇/(x+8))/x)

Значения коэффициентов C_k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

 

  Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

 

Список литературы

 

1. Специальные функции и их приложения: