Производная гамма функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл  при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как  и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях  является и весь интеграл  так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что интеграл сходится по в любой области  где  произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом , в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция  непрерывна при  и , и покажем ,что интеграл :

сходится равномерно на каждом сегменте  ,  . Выберем число  так , чтобы ; тогда  при .Поэтому существует число  такое , что  и  на .Но тогда на  справедливо неравенство

и так как интеграл  сходится, то интеграл  сходится равномерно относительно  на . Аналогично для  существует такое число , что для всех  выполняется неравенство . При таких  и всех  получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл  сходится равномерно относительно  на . Наконец , интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на  интеграл

сходится равномерно , а, следовательно , гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом  и справедливо равенство

      .

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)

Из выражения для второй производной -функции видно, что  для всех . Следовательно,  возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная  при  и  при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При  из формулы следует , что  при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для , что . Правая часть этого равенства определена для  из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция  принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при   функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением  окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при  и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение 1.)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .