Вычислим интеграл методом левых прямоугольников

I_лп = h·[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_n-1)] = ·[0+0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1491

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1491| = 0,0239 = 0,001 – нет.

 

Вычислим интеграл методом правых прямоугольников

I_пп = h·[f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + … + f(x_n)] = ·[0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207+1] = 0,1982

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1982| = 0,0252 = 0,001 – нет.

Вычислим интеграл методом центральных прямоугольников

 

Вычислим значения подынтегральной функции в центре каждого выделенного интервала:

 

0,0491 0,4730

0,1483 0,5994

0,2505  0,7416

0,3578 0,9063

 

Результаты сведены в таблицу:

 

i	1	2	3	4	5	6	7	8
x
f с ( x )	0,0491	0,1483	0,2505	0,3578	0,4730	0,5994	0,7416	0,9063

 

I_цп = h·[f ^с(x₁) + f ^с(x₂) + f ^с(x₃) + … + f ^с(x_n)] = ·[0,0491+0,1483+0,2505+0,3578+0,4730+

+0,5994+0,7416+0,9063] = 0,1731

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1731| = 0,0001 = 0,001 – да.

Вычислим интеграл методом трапеций

 

I_пп = h·[  + f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_n-1)] = ·[ +0,0985+0,1989+0,3033+

+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1737

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1737| = 0,0007 = 0,001 – да.

 

Вычислим интеграл методом парабол

 

I_пп = ·[f(x₀) + f(x_n) + 4·(f(x₁) + f(x₃) + … + f(x_n-1)) + 2·(f(x₂) + f(x₄) + … + f(x_n-2))] = ·[0 +1 + 4·(0,0985+0,3033+0,5345+0,8207) + 2·(0,1989+0,4142+0,6682)] = 0,1733

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1733| = 0,0003 = 0,001 – да.

 

Численные методы решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

 

Исходные данные

 

Уравнение	Начальные условия	Интервал	Шаг
	y(0) = 2,2	[0; 0,25]	0,05

 

Решим дифференциальное уравнение первого порядка  в интервале [0; 0,25] с шагом 0,05 и начальными условиями y(0) = 2,2

 

Метод Эйлера

 

Запишем итерационные формулы метода Эйлера.

 

 

Вычислим значения функций при i = 0:

 

 

Вычислим значения функций при i = 1:

 

Вычислим значения функций при i =2:

 

 

Вычислим значения функций при i = 3:

 

 

Вычислим значения функций при i = 4:

 

 

Результаты расчетов сведены в таблицу:

 

i	x i	y i
0	0	2,2
1	0,05	2,58
2	0,10	3,0312
3	0,15	3,5683
4	0,20	4,2094
5	0,25	4,9767

Модифицированный метод Эйлера

Запишем итерационные формулы модифицированного метода Эйлера.

 

        

 

Вычислим значения функций при i = 0:

 

 

Вычислим значения функций при i = 1:

 

 

Вычислим значения функций при i = 2:

 

 

Вычислим значения функций при i = 3:

 

 

Вычислим значения функций при i = 4:

 

 

Результаты расчетов сведены в таблицу:

 

№	x i+1/2	y i+1/2	x i	y i
0			0	2,2
1	0,025	2,3900	0,05	2,6152
2	0,075	2,8434	0,10	3,1145
3	0,1250	3,3893	0,15	3,7163
4	0,1750	4,0479	0,20	4,4434
5	0,2250	4,8446	0,25	5,3241

Усовершенствованный метод Эйлера – Коши

Запишем итерационные формулы улучшенного метода Эйлера – Коши.

 

 

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 0:

 

 

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 1:

 

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 2:

 

 

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 3:

 

 

Вычислим значения коэффициентов и функций при i = 4:

 

 

Результаты расчетов сведены в таблицу:

численный уравнение интерполяция интеграл

№	К 1i	К 2i	x i	y i
0	0,38	0,4512	0	2,2
1	0,4565	0,5432	0,05	2,6156
2	0,5497	0,6556	0,1	3,1154
3	0,6635	0,7931	0,15	3,7180
4	0,0829	0,9619	0,2	4,4463
5			0,25	5,3287