Метод простой итерации

Заданная система

 

 

Метод Гаусса

(1.1.)

 

Прямой ход

Нормируем первое уравнение системы, разделив все члены уравнения на его первый коэффициент при :

 

    (1.2.)

 

Умножим нормированное уравнение (1.2) на коэффициенты при х₁ оставшихся уравнений системы (1.1).

 

(1.3.)

  (1.4.)

           (1.5.)

Вычтем полученные уравнения (1.3.), (1.4.), (1.5.) из второго, третьего и четвёртого уравнения системы (1.1.) соответственно, чтобы исключить из системы х₁:

 

            (1.6.)

    (1.7.)

 (1.8.)

 

Получим новую систему уравнений:

 

(1.9.)

 

Рассмотрим систему уравнений (1.9).

Решим систему уравнений без первого уравнения системы (1.9.).

 

(1.10.)

 

Нормируем первое уравнение системы (1.10.), разделив все члены уравнения на коэффициент при :

 (1.11.)

 

Умножаем нормированное уравнение (1.11.) на коэффициент при х₂ оставшихся уравнений:

 

 (1.12.)

 (1.13.)

Вычтем полученные уравнения (1.12.), (1.13.) из второго и третьего уравнения системы (1.10.) соответственно, чтобы исключить из системы х₂:

 

             (1.14.)

     (1.15.)

 

Получим новую систему уравнений:

 

      (1.16.)

Рассмотрим систему (1.16) без первого уравнения:

 

    (1.17.)

Нормируем первое уравнение системы (1.17.).

 

         (1.18.)

 

Умножаем полученное уравнение (1.18.) на коэффициент при х₄ второго уравнения системы (1.17.):

 

    (1.19.)

 

Вычтем полученное уравнение (1.19.) из второго уравнения системы (1.18.):

 

               (1.20.)

 

Получим новую систему линейных уравнений:

 

 (1.21.)

 

Рассмотрим последнее уравнение системы (1.21.).

Нормируем данное уравнение:

 

      (1.22.)

В результате выполненных действий система (1.1.) приведена к треугольному виду:

 (1.23.)

Обратный ход

x₄ = 0,327;

Найдём  из третьего уравнения системы (1.23.):

x₃ = 0,210+0,181·0,327=0,269;

Найдём  из второго уравнения системы (1.23.):

x₂ = 0,525–0,346·0,269+0,508·0,327 = 0,598;

Найдём  из первого уравнения системы (1.23.):

x₁ = -0,231–0,231·0,598–0,231·0,269+0·0,327 = -0,431

Решением системы линейных уравнений являются значения неизвестных:

Ответ: x₁ = -0,431;

x₂ = 0,598;

x₃ = 0,269;

x₄ = 0,327.

Метод простой итерации

 

Выполним проверку на сходимость

 

|a₁₁|>|a₁₂|+|a₁₃|+|a₁₄| → |13|>|3|+|3|+|0|

|a₂₂|>|a₂₁|+|a₂₃|+|a₂₄| → |14|>|1|+|5|+|-7|

|a₃₃|>|a₃₁|+|a₃₂|+|a₃₄| → |18|>|-2|+|1|+|-4|

|a₄₄|>|a₄₁|+|a₄₂|+|a₄₃| → |14|>|3|+|3|+|-4|

 

Условия сходимости выполняются, следовательно, решение может быть найдено с определенной точностью за некоторое число итераций.

Вычислим значения неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с точностью ε  0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значения, равные нулю, т.е.

 

x₁⁽⁰⁾ = 0; x₂⁽⁰⁾ = 0; x₃⁽⁰⁾ = 0; x₄⁽⁰⁾ = 0;

 

Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.

 

= -0,231

= 0,500

= 0,278

= 0,286

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽¹⁾-x₁⁽⁰⁾| = |-0,231–0| = 0,231  ε – нет

|x₂⁽¹⁾-x₂⁽⁰⁾| = |0,500–0| = 0,500  ε – нет

|x₃⁽¹⁾-x₃⁽⁰⁾| = |0,278–0| = 0,278  ε – нет

|x₄⁽¹⁾-x₄⁽⁰⁾| = |0,286–0| = 0,286  ε – нет

Выполним вторую итерацию.

Подставим значения неизвестных, полученные в первой итерации, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении.

 

= -0,410

= 0,560

= 0,288

= 0,308

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽²⁾-x₁⁽¹⁾| = |-0,410+0,231| = 0,179  ε – нет,

|x₂⁽²⁾-x₂⁽¹⁾| = |0,560–0,500| = 0,060  ε – нет,

|x₃⁽²⁾-x₃⁽¹⁾| = |0,288–0,278| = 0,010  ε – нет,

|x₄⁽²⁾-x₄⁽¹⁾| = |0,308–0,286| = 0,022  ε – нет.

 

Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении.

 

= -0,427

= 0,580

= 0,270

= 0,336

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽³⁾-x₁⁽²⁾| = |-0,427+0,410| = 0,017  ε – нет,

|x₂⁽³⁾-x₂⁽²⁾| = |0,580+0,560| = 0,020  ε – нет,

|x₃⁽³⁾-x₃⁽²⁾| = |0,270–0,288| = 0,018  ε – нет,

|x₄⁽³⁾-x₄⁽²⁾| = |0,336–0,308| = 0,028  ε – нет.

 

Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвертом приближении.

 

= -0,427

= 0,602

= 0,273

= 0,330

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽⁴⁾-x₁⁽³⁾| = |-0,427+0,427| = 0,000  ε – да,

|x₂⁽⁴⁾-x₂⁽³⁾| = |0,602–0,580| = 0,022  ε – нет,

|x₃⁽⁴⁾-x₃⁽³⁾| = |0,273–0,270| = 0,003  ε – нет,

|x₄⁽⁴⁾-x₄⁽³⁾| = |0,330–0,336| = 0,006  ε – нет.

 

Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвертом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении.

 

= -0,433

= 0,598

= 0,270

= 0,326

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽⁵⁾-x₁⁽⁴⁾| = |-0,433+0,427| = 0,006  ε – нет,

|x₂⁽⁵⁾-x₂⁽⁴⁾| = |0,598–0,602| = 0,004  ε – нет,

|x₃⁽⁵⁾-x₃⁽⁴⁾| = |0,270–0,273| = 0,003  ε – нет,

|x₄⁽⁵⁾-x₄⁽⁴⁾| = |0,326–0,330| = 0,004  ε – нет.

 

Выполним шестую итерацию.

Подставим значения, полученные в пятом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при шестом приближении.

 

= -0,431

= 0,597

= 0,269

= 0,327

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽⁶⁾-x₁⁽⁵⁾| = |-0,431+0,433| = 0,002  ε – нет,

|x₂⁽⁶⁾-x₂⁽⁵⁾| = |0,597–0,598| = 0,001  ε – да,

|x₃⁽⁶⁾-x₃⁽⁵⁾| = |0,269–0,270| = 0,001  ε – да,

|x₄⁽⁶⁾-x₄⁽⁵⁾| = |0,327–0,326| = 0,001  ε – да.

 

Выполним седьмую итерацию.

Подставим значения, полученные в шестом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при седьмом приближении.

 

= -0,431

= 0,598

= 0,269

= 0,327

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽⁷⁾-x₁⁽⁶⁾| = |-0,431+0,431| = 0,000  ε – да,

|x₂⁽⁷⁾-x₂⁽⁶⁾| = |0,598–0,597| = 0,001  ε – да,

|x₃⁽⁷⁾-x₃⁽⁶⁾| = |0,269–0,269| = 0,000  ε – да,

|x₄⁽⁷⁾-x₄⁽⁶⁾| = |0,327–0,327| = 0,000  ε – да.

 

Необходимая точность достигается в седьмой итерации.

Ответ: х₁ = -0,431,

х₂ = 0,598,

х₃ = 0,269,

х₄ = 0,327.

Метод Зейделя

 

 

Условия сходимости было проверено выше, оно выполняется.

Точность вычисления ε  0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значений, равные нулю.

 

x₁⁽⁰⁾ = x₂⁽⁰⁾ = x₃⁽⁰⁾ = x₄⁽⁰⁾ = 0;

 

Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.

 

= -0,231

= 0,517

= 0,223

= 0,288

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽¹⁾-x₁⁽⁰⁾| = |-0,231–0| = 0,231  ε – нет

|x₂⁽¹⁾-x₂⁽⁰⁾| = |0,517–0| = 0,517  ε – нет

|x₃⁽¹⁾-x₃⁽⁰⁾| = |0,223–0| = 0,223  ε – нет

|x₄⁽¹⁾-x₄⁽⁰⁾| = |0,288–0| = 0,288  ε – нет

 

Выполним вторую итерацию.

Подставим значения, полученные в первом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении.

 

= -0,402

= 0,593

= 0,264

= 0,320

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽²⁾-x₁⁽¹⁾| = |-0,402+0,231| = 0,171  ε – нет,

|x₂⁽²⁾-x₂⁽¹⁾| = |0,593–0,517| = 0,076  ε – нет,

|x₃⁽²⁾-x₃⁽¹⁾| = |0,264–0,223| = 0,041  ε – нет,

|x₄⁽²⁾-x₄⁽¹⁾| = |0,320–0,288| = 0,032  ε – нет.

 

Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении.

 

= -0,429

= 0,596

= 0,268

= 0,326

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽³⁾-x₁⁽²⁾| = |-0,429+0,402| = 0,027  ε – нет,

|x₂⁽³⁾-x₂⁽²⁾| = |0,596–0,593| = 0,003  ε – нет,

|x₃⁽³⁾-x₃⁽²⁾| = |0,268–0,264| = 0,004  ε – нет,

|x₄⁽³⁾-x₄⁽²⁾| = |0,326–0,320| = 0,006  ε – нет.

 

Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвёртом приближении.

 

= -0,430

= 0,598

= 0,269

= 0,327

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽⁴⁾-x₁⁽³⁾| = |-0,430+0,429| = 0,01  ε – да,

|x₂⁽⁴⁾-x₂⁽³⁾| = |0,598–0,596| = 0,002  ε – нет,

|x₃⁽⁴⁾-x₃⁽³⁾| = |0,269–0,268| = 0,001  ε – да,

|x₄⁽⁴⁾-x₄⁽³⁾| = |0,327–0,326| = 0,001  ε – да.

 

Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвёртом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении.

 

= -0,431

= 0,598

= 0,269

= 0,327

 

Выполним проверку полученных значений:

 

|x₁⁽⁵⁾-x₁⁽⁴⁾| = |-0,431+0,430| = 0,001  ε – да,

|x₂⁽⁵⁾-x₂⁽⁴⁾| = |0,598–0,598| = 0,000  ε – да,

|x₃⁽⁵⁾-x₃⁽⁴⁾| = |0,269–0,269| = 0,000  ε – да,

|x₄⁽⁵⁾-x₄⁽⁴⁾| = |0,327–0,327| = 0,000  ε – да.

 

Необходимая точность достигается в пятой итерации.

Ответ: х₁ = -0,431,

х₂ = 0,598,

х₃ = 0,269,

х₄ = 0,327.