Расчет параметров статистического распределения

Законы распределения случайных величин

 

Обработка информации о надежности буровых машин

Анализ статистического материала

В таблице 1 представлено распределение наработок до отказа бура.

Таблица 1 Частота наработки турбобура до отказа

ti	Частота ni	ti	Частота ni	ti	Частота ni	ti	Частота ni	ti	Частота ni	ti	Частота ni
1	1	24	1	47	1	70	2	93	2	116	0
2	3	25	6	48	1	71	1	94	2	117	0
3	1	26	2	49	2	72	1	95	1	118	0
4	1	27	1	50	5	73	4	96	0	119	0
5	0	28	3	51	0	74	2	97	3	120	0
6	2	29	1	52	2	75	1	98	2	121	0
7	2	30	1	53	1	76	3	99	1	122	0
8	0	31	2	54	3	77	1	100	0	123	0
9	2	32	0	55	0	78	1	101	0	124	0
10	1	33	1	56	1	79	1	102	1	125	0
11	3	34	4	57	5	80	2	103	1	126	0
12	1	35	1	58	4	81	0	104	1	127	0
13	2	36	3	59	3	82	3	105	0	128	0
14	3	37	1	60	1	83	2	106	0	129	0
15	2	38	0	61	0	84	2	107	0	130	0
16	0	39	4	62	2	85	1	108	0	131	0
17	2	40	1	63	4	86	0	109	1	132	0
18	2	41	1	64	2	87	1	110	1	133	1
19	3	42	2	65	2	88	3	111	0	134	0
20	1	43	0	66	2	89	1	112	0	135	0
21	2	44	10	67	2	90	1	113	0	136	1
22	1	45	1	68	0	91	2	114	0
23	0	46	1	69	1	92	3	115	1

t_i –наработка турбобура до отказа

n_i-частота

∑n_i=183

Построение вариационного ряда

Строим путем ранжирования

Вариационный ряд: 1,2,2,2,3,4,6,6,7,7,9,9,10,11,11,11,12,13,13,14,14,14, 15,15,17,17,18,18,19,19,19,20,21,21,22,24,25,25,25,25,25,25,26,26,27,28,28,28,29, 30,31,31,33,34,34,34,34,35,36,36,36,37,39,39,39,39,40,41,42,42,44,44,44,44,44,44,44,44,44,44,45,46,36,47,48,49,49,50,50,50,50,50,52,52,53,54,54,54,56,57,57,57,57,57,58,58,58,58,59,59,59,49,60,62,62,63,63,63,63,64,64,65,65,66,66,67,67,69,70,70,71,72,73,73,73,73,74,74,75,76,76,76,77,78,79,80,80,82,82,82,83,83,84,84,85,87,88,88,88,89,90,91,91,92,92,92,93,93,94,94,95,97,97,97,98,98,99,102,103,104,109,110,115,133,136.

Построение статистического ряда

Для облегчения расчетов при числе информации n > 25 статистический материал обычно представляется в виде статистического ряда.

Число интервалов ряда принимается равным

Рекомендуется принимать от 6 до 20 интервалов. Интервалы ряда принимает равными, но допускается объединять интервалы и принимать их равной величины, если количество наблюдений в ин­тервале меньше пяти. Примем k=14

Величину одного интервала определяем по выражению:

где  - наибольшее значение случайной величины;

 - наименьшее значение случайной величины;

- ширина интервала.

Принимаем

При составлении статистического ряда для каждого интервала подсчитывают:

n_i- количество значений случайной величины в в i –ом интервале (частость)

 - частость в i –ом интервале      

  - накопленная частость ;

 - эмпирическая плотность вероятности , где - ширина интервала.

По данным таблицы (1) был построен статистический интервальный ряд – таблица 2.

Таблица 2 Статистический интервальный ряд

№	Интервал, ч	∆t	Середина	n*i	p*i
1	0-10	10	5	16	0,0804
2	10-20	10	15	26	0,1307
3	20-30	10	25	24	0,1206
4	30-40	10	35	23	0,1156
5	40-50	10	45	23	0,1156
6	50-60	10	55	29	0,1457
7	60-70	10	65	12	0,0603
8	70-80	10	75	22	0,1106
9	80-90	10	85	5	0,0251
10	90-100	10	95	10	0,0503
11	100-110	10	105	4	0,0201
12	110-120	10	115	2	0,0101
13	120-130	10	125	2	0,0101
14	130-140	10	135	1	0,0050

 

Так как частота в интервалах 11-14 меньше пяти, то объединяем их в один интервал:

 n₁₁=8 [100-140]

Итоговый интервальный ряд представлен в таблице 3.

 

 

Таблица 3 Итоговый статистический интервальный ряд

№	Интервал, ч	∆t	Середина	n*i	p*i
1	0-10	10	5	16	0,0804
2	10-20	10	15	26	0,1307
3	20-30	10	25	24	0,1206
4	30-40	10	35	23	0,1156
5	40-50	10	45	23	0,1156
6	50-60	10	55	29	0,1457
7	60-70	10	65	12	0,0603
8	70-80	10	75	22	0,1106
9	80-90	10	85	5	0,0251
10	90-100	10	95	10	0,0503
11	100-140	40	120	9	0,0452

 

Расчет параметров статистического распределения

Функция распределения случайной величины может быть достачно строго определена о помощью статистических характеристик, называемых параметрами распределения.

Распределение случайных величин, изучаемых в теории надёжности характеризуют с помощью математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и коэффициентов вариации.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих величин [ 2 ]

На практике для оценки математического ожидания используют сред­нее, арифметическое значение случайной величины.

Если п<25; , то среднее значение определяет по формуле

где п - количество; информации;

    t_i - значение i - гo показателя надежности.

Для статистического ряда

где k - количество интервалов в статистическом раду;

- значение середины i -го интервала;

- опытная вероятность i -го интервала.

Важным параметром распределения является дисперсия. Диспер­сия характеризует разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квад­рата случайной величины, потому часто, пользуются среднеквадратическим отклонением случайной

где  - среднее квадратическое отклонение;

 - дисперсия случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение определяют по уравнению (при n<25)

Если используется статистический ряд , то среднее квадратическое отклонение равно

Используя данные таблицы 2 определим математическое ожидание и дисперсию для этого построим таблицу 4.

 

 

Таблица 4 Вспомогательные данные для расчета статистических показателей

интервал
1	0,340314	-40,1571	1612,59	109,75744
2	2,041885	-30,1571	909,4488	123,79931
3	4,581152	-20,1571	406,3074	74,454234
4	4,947644	-10,1571	103,166	14,58368
5	6,125654	-0,15707	0,02467	0,0033583
6	4,319372	9,842932	96,88331	7,6086368
7	3,403141	19,84293	393,7419	20,614762
8	3,926702	29,84293	890,6006	46,628303
9	4,005236	39,84293	1587,459	74,801744
10	3,481675	49,84293	2484,318	91,048299
11	2,748691	59,84293	3581,177	93,748076
Сумма	45,15707	-	-	924,0591

 

Определим математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение