Построение численной модели дифференциальной стохастической системы.

Выполним математическое моделирование непрерывно-стохастической системы.

Будем использовать нелинейное стохастическое уравнение 2-го порядка ,                                                            (1)

где - случайный процесс.

Для реализации математической модели в случаях:

а) случайное воздействие имеет спектральную плотность ,                                                               (2)

где

- круговая частота;

- коэффициент затухания корреляционной функции;

- средняя частота корреляционной функции.

а) если случайный процесс имеет спектральную плотность.

Белый шум - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией, равной дельта-функции.

 Моделирование белого шума осуществляется по следующей формуле:

,                                                                         (3)

где

-независимая случайная величина с нормальным законом распределения с m_x=0 и D_x=1,

N_o - коэффициент интенсивности белого шума или высота спектральной плотности.

      Моделирование случайного воздействия со спектральной плотностью  осуществляется стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка

;                                    (4)

в систему уравнений 1-ого порядка, для этого введем специальные переменные:

                                                                               (5)

В результате получим следующую систему 1-го порядка:

                                                                                         (6)

Применяем к каждому уравнению метод Эйлера

                                   (7)

 получим следующую численную модель:

                  (8)

В случае а) когда случайное воздействие – белый шум, аналогично, математическая модель будет иметь вид:

                                             (9)

При моделировании непрерывной стохастической модели следует выполнить такие действия:

1) Подбор коэффициента интенсивности белого шума (его мы осуществим с помощью табуляции функции

,

ее максимальное значение и будет требуемым шагом);

2) разработать датчик случайных чисел с нормальным законом распределения.

Для этого необходимо:

- сгенерировать два случайных числа с равномерным законом распределения, 1-ое число , а второе число  

(Рисунок 1);

- сравнить, если V₁>f(V₁), то все числа отбрасываются и генерация повторяется заново, иначе меньшее число принимается как верное;

   3) выбрать произвольный шаг табулирования;

4) получить значения по системам уравнений (8),(9);

5) проверить сходимость - проверка выполняется среднеквадратично по формуле

,                                                            (10)  

Если погрешность среднеквадратичного отклонения менее или равна 0.05, то полученные значения считаются решением, иначе необходимо уменьшить шаг в 2 раза и повторить итерацию.

   Причем в случае, где X(t)- белый шум обеспечиваем сходимость только по x₁ (8);  а в случае, где случайное воздействие имеет спектральную плотность (2), сходимость обеспечиваем и по x₁ и по x_3.