Метод экспоненциального сглаживания с учетом тренда

В 1957 г. Хольт разработал метод экспоненциального сглаживания, получивший название двухпараметрического метода Хольта. В этом методе учитывается локальный линейный тренд, присутствующий во временных рядах [14, C.117].

Если во временных рядах имеется тенденция к росту, то вместе с оценкой текущего уровня необходима и оценка наклона. В методике Хольта значения уровня и наклона сглаживаются непосредственно, при этом используются различные постоянные сглаживания для каждого из них. Эти постоянные сглаживания позволяют оценить текущий уровень и наклон, уточняя их всякий раз, когда появляются новые наблюдения. Одним из преимуществ методики Хольта является ее гибкость, позволяющая выбирать соотношение, в котором отслеживаются уровень и наклон.

Ниже приведены три уравнения, составляющие метод Хольта.

1. Экспоненциально сглаженный ряд или оценка текущего уровня:

.                        (1.34)

2. Оценка тренда:

.                        (1.35)

3. Прогноз нар периодов вперед:

,                                         (1.36)

где

 – новая сглаженная величина;

 – постоянная сглаживания для данных ( );

 – новое наблюдение или реальное значение ряда в период ;

 – постоянная сглаживания для оценки тренда ( );

 – оценка тренда;

 – количество периодов вперед, на которое делается прогноз;

 – прогноз на  периодов вперед.

Постоянная  нужна для сглаживания оценки тренда.

Постоянные  и  выбираются субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования, например значения MSE. Чем большие значения весов будут взяты, тем более быстрый отклик на происходящие изменения будет иметь место.

Для минимизации значения MSE нужно создать сетку значений  и  (т.е. все комбинации  и ) и выбрать ту комбинацию, которая даст меньшее значение MSE.

Для того чтобы воспользоваться алгоритмом уравнения (1.34), нужно иметь набор из начальных величин и тренда. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы первую оценку положить равной первому наблюдению. При этом тренд будет равен нулю. Другое решение – это определить начальное значение как среднее для первых пяти или шести наблюдений. Тогда тренд можно оценить наклоном линии, образованной этими пятью или шестью точками.

На основе аддитивной модели

Фактическое значение = трендовое значение + сезонная вариация + ошибка.

На первом шаге нужно исключить влияние сезонной вариации, воспользовавшись методом скользящей средней. Далее необходимо провести десезонализацию данных.

Уравнение линии тренда:

.                                              (1.37)

Ошибки вычисляются с помощью формул (1.30, 1.31).