Физические приложения поверхностных интегралов

Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

· Масса оболочки;

· Центр масс и моменты инерции оболочки;

· Сила притяжения и сила давления;

· Поток жидкости и вещества через поверхность;

· Электрический заряд, распределенный по поверхности;

· Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике).

Масса оболочки

Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле

Центр масс и моменты инерции оболочки

Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами

где

− так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.

Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами

Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами

Сила притяжения поверхности

Пусть задана поверхность S, а в точке (x₀, y₀, z₀), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

где , G - гравитационная постоянная, − функция плотности.

Сила давления

Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле

Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

где − единичный нормальный вектор к поверхности S.

Поток жидкости и поток вещества

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой

Аналогично, поток векторного поля , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением

Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

Заряд поверхности

Пусть величина является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой

Теорема Гаусса

Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

где , − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, − диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

Пример

Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением и имеющей плотность .

Решение.

Воспользуемся формулой

Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать

Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем

Сделаем подстановку . Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен