Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл

где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле

где G − гравитационная постоянная.

Пример

Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение.

По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar², где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

Физические приложения криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

1) Масса кривой;

2) Центр масс и моменты инерции кривой;

3) Работа при перемещении тела в силовом поле;

4) Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

5) Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции , то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как

или в параметрической форме

Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

где

− так называемые моменты первого порядка.

Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула

Где  

Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β. Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой

      где − потенциал поля.

Рис.1		Рис.2

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

где - магнитная проницаемость ваккуума, равная Н/м.

 Закон Фарадея

Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока ψ, проходящего через данный контур (рисунок 3).

Рис.3

Пример

Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью .

Решение. Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB.

где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна