Проверка формулы Циолковского

Проверяется соответствие результатов моделирования полёта формуле Циолковского (6).

Зафиксируем полезную массу груза  и стартовую массу топлива  и исследуем зависимость максимальной достигнутой скорости ракеты от расхода топлива. Согласно (8) и (9) должно наблюдаться асимптотическое стремление по гиперболическому закону  к величине , определяемой формулой (6). Результаты этого исследования представлены на рис. 6. Теоретическая кривая построена по формуле (8); для сравнения представлена соответствующая зависимость  для режима с ограниченным ускорением.

Рис. 6. Зависимость максимальной скорости от расхода топлива

Как видно из рис. 6, применяемая модель одноступенчатой ракеты достаточно хорошо соответствует теоретической модели, описываемой формулой Циолковского (8),однако, так как данная модель не учитывает уменьшения силы тяжести с выотой, то имеется систематическая погрешность: на рис. 6 видно, что развиваемые скорости превышают теоретический предел на величины порядка 0,05 км/с. В модели с ограниченным ускорением максимальная скорость выходит на константу (при данных начальных условиях ≈11,31 км/с), меньшую, чем .

Также исследуем зависимость развиваемой скорости от стартовой массы топлива. На Рис 7 изображены две кривые v_max(M_f) для одноступенчатого режима со значениями μ=3 т/c (a_max≈107g₀) и μ=6 т/c (a_max≈217g₀), а также для ограниченного режима (μ=6 т/c). При μ≤3, т/c ограниченный режим эффективнее, чем одноступенчатый; при μ≥3,4 т/c в одноступенчатом режиме требуется меньше топлива, однако при этом развивается ускорение a_max≈120g₀, что значительно больше, чем в ограниченном режиме. Для двухступенчатого режима эффективность большая, чем для ограниченного, достигается при μ≥6,8 т/c (a_max≈120g₀); для трёхступенчатого наибольшая эффективность достигается при M_f=312 т, μ=15,4 т/c (a_max≈137g₀).

Рис. 7. Зависимость максимальной скорости от стартовой массы топлива

Заштрихованными значками на рис 7 нанесены точки, в которых максимальная достигнутая скорость равна второй космической в момент прекращения работы двигателей. Так как с высотой величина второй космической скорости монотонно уменьшается, а при увеличении стартовой массы топлива увеличиваются как максимальная скорость ракеты, так и высота, на которой она достигается, то при заданном расходе топлива можно однозначно определить стартовую массу топлива, необходимую для достижения второй космической скорости.

4. Необходимые условия старта с планет

Найдем минимальную массу топлива, необходимую для вертикального старта модуля с полезной массой  с поверхности некоторых планет солнечной системы и достижения второй космической скорости.

С учётом исследования, проведённого в пунктах 2 и 3, а также формулы Циолковкого (8), можно сказать, что с увеличением времени работы двигателей стартовая масса также должна увеличиваться для достижения той же конечной скорости, и основным критерием выбора режима полёта можно считать максимальное допустимое ускорение. В одноступенчатом режиме для минимизации стартовой массы необходимо увеличивать расход топлива, что, в конечном счете, приводит к увеличению ускорения. В связи с этим для исследования выбирается ограниченный режим ускорения, сила Кориолиса не учитывается.

Луна		10
Марс		34
Земля		282
Уран		6450
Таблица 2. Необходимая масса топлива  при старте ракеты с различных планет с массой

Результаты моделирования, приведённые в таблице 2, показывают, что для возврата посадочного модуля с небесных тел тяжелее Земли требуется снабжение их соответствующим количеством топлива, что делает подобные проекты практически неосуществимыми при существующей технике ракетных полётов.

Приложение 1. База данных планет.

Меркурий	0.054	2500
Венера	0.815	6052
Земля	1.0	6378
Луна	0.0123	1738
Марс	0.108	3394
Юпитер	317.8	69780
Ио	0.015	1820	-
Европа	0.0079	1565	-
Ганимед	0.0248	2640	-
Каллисто	0.018	2420	-
Сатурн	95,1	2425	-
Титан	0.023	2425	-
Уран	14.54	25400
Нептун	17.22	22300
Таблица 3. Характеристики планет солнечной системы и их спутников: отношение массы к массе Земли, экваториальный радиус, угловая скорость суточного вращения.

Литература

1. С.Э.Хайкин, Физические основы механики,М., «Наука», 1971.

2. С.П.Стрелков, Механика, М., «Наука», 1965.

3. Космонавтика: энциклопедия, под ред. Г.П.Глушко,
М., «Советская Энциклопедия», 1985.

4. В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М., Гостехиздат, 1953.

[1] применяется модель поля тяжести равномерной сферы с потенциалом .

[2] Под a₁ подразумевается максимальное ускорение в одноступенчатом режиме.