Комментарии к программе

Аннотация

В задаче рассматривается пример старта ракеты с поверхности различных планет солнечной системы и их спутников; сравниваются характеристики ракет с различным числом ступеней и их пригодность для выполнения различных задач; исследуется влияние сил инерции на движение ракеты в процессе полёта; находится необходимая масса топлива для полёта с некоторых планет солнечной системы.

Постановка задачи

Выполнить компьютерное моделирование движения тела переменной массы на примере старта ракеты с поверхности планеты.

Теоретическое введение

Уравнение Мещерского.

Рассмотрим движение тела переменной массой во внешнем силовом поле. Уравнение Ньютона в общем виде

,                                                                     (1)

переписанное в системе центра масс, примет вид:

,                                                 (2)

где - скорость истечения газа. Вводя обозначение  и учитывая характер внешнего силового поля , образованного силами притяжения и инерции, перепишем уравнение (2) как

                                              (3)

где - сумма внешних сил, действующих на тело;  - масса ракеты. Уравнение (3) называется уравнением Мещерского [1, 2]. Величина  представляет собой реактивную силу тяги.

Формула Циолковского

Рассмотрим движение ракеты в отсутствие внешних сил. Уравнение движения в скалярном виде (с учётом того, что векторы  и противоположно направлены) будет иметь вид:

.                                                 (4)

Это уравнение с разделяющимися переменными; проинтегрировав его в конечных пределах

,                                             (5)

получим:

;                                           (6)

эта формула называется формулой Циолковского [3]. Из неё следует, что для сообщения телу массой  конечной скорости v требуется, без учёта затрат на преодоление сил тяжести, масса топлива, равная

.                                            (7)

Рассмотрим теперь модель, в которой учитывается однородное поле тяжести  (знак минус означает, что поле направленно против движения ракеты), можно получить

,                                (8)

где  - полное время работы двигателей. При постоянном расходе топлива

                                                          (9);

 так как , то уравнение (8) - трансцендентное уравнение относительно . Максимальное ускорение одноступенчатой ракеты в такой модели определяется соотношением , то есть

,                                           (10)

так как в широком диапазоне реализуемых начальных условий .

Применяемые модели

Рис. 1. Выбор локальной системы координат

В данной задаче производится численное интегрирование уравнения Мещерского для движения ракеты во внешнем силовом поле. Рассматривается двумерная задача движения ракеты, стартующей с экватора планеты в её экваториальной плоскости. Задача рассматривается в декартовой системе координат с началом отсчёта в точке старта ракеты (см. рис. 1). Начальный угол старта ракеты может изменяться в направлении вращения планеты. При движении тела учитывается изменение силы тяжести с высотой[1] и центробежная сила инерции, а также имеется возможность учитывать или не учитывать силу Кориолиса  ( – угловая скорость вращения планеты; для некоторых рассматриваемых планет величина ω не определена). Ракета считается материальной точкой. Таким образом, в выбранной системе отсчета ( x , y ) уравнения движения (2) принимают вид:

,                             (11)

где  - расстояние от центра планеты до точки нахождения ракеты,  - угол между направлением движения ракеты и вертикалью; сила тяги  определяется скоростью истечения газа, которая постоянна по величине ( ) и направлена противоположно .

В программе реализована возможность выбирать режим работы двигателя:

1. Неограниченное ускорение (одноступенчатый режим). Расход топлива и сила тяги двигателя постоянны на протяжении всего процесса ускорения и определяются при запуске.

2. Двухступенчатый режим. Два фиксированных режима. Начальный расход топлива определяется при запуске; при израсходовании 0.5 начальной массы топлива расход уменьшается в 2 раза, а масса ракеты единоразово уменьшается на 10 т. В дальнейшем режим работы двигателей не меняется. Максимальное ускорение a_max=½ a₁ [2].

3. Трёхступенчатый режим. После отработки половины топлива расход уменьшается в 2 раза, а масса на 15 т. После отработки 90% начальной массы топлива расход уменьшается ещё в 2 раза, а масса на 5 т. Максимальное ускорение a_max=¼ a₁

4. Режим с ограниченным ускорением. Авторегулируемый режим. Ускорение ракеты ограничено величиной . Если ускорение превышает величину , то расход топлива уменьшается до такой величины, чтобы ускорение стало равно . Таким образом, ускорение системы поддерживается в диапазоне ; за счёт этого расход топлива и сила тяги постепенно уменьшаются с высотой.

Интегрирование уравнений движения (11) производится по схеме Эйлера с фиксированным шагом интегрирования

                                               (12)

Выбор шага интегрирования производился с учётом анализа работы программы. Увеличение шага интегрирования приводит к потере устойчивости решения. Например, при  нарушается устойчивость решения. Выбранное значение  обеспечивает в исследуемом диапазоне начальных условий, приближённых к реальным параметрам ракет, непрерывность и гладкость (в пределах погрешностей округления) решений по параметрам M_f, m₀, μ, требуемые соответствующими теоремами (см. [4], гл.VII, §3). При таком выборе  решение задачи (12) с соответствующими граничными условиями

                                                 (13)

является устойчивым (см. [4], гл.VII, §6).

Дальнейшее уменьшение шага интегрирование до величин, меньших  замедляет работу программы, но практически не влияет на решение задачи.

Комментарии к программе

Программа реализована с помощью двух потоков. Основной поток обрабатывается оконной функцией WindowFunc и отвечает за обработку системных команд и команд меню. Дополнительный поток, описываемый функцией ThreadProc, производит необходимые вычисления и выводит на экран траекторию движения ракеты в реальном времени, а также графики, описывающие движение, после выполнения вычислений. В процессе вычисления на каждом шаге все основные параметры выводятся в файл, имя которого может быть указано в пункте меню Параметры->Файл Вывода (по умолчанию ballista.dat). Перед началом вычисления определяются параметры запуска: планета, с которой производится запуск, полезная масса , масса топлива , начальный расход топлива μ, угол запуска . Также выбирается масштаб изображения (измеряется в пикселях/км); для корректировки скорости работы программы можно ввести задержку (измеряется в на каждом шаге). По ходу моделирования полёта траектория движения ракеты выводится на экран красным цветом, если двигатели работают, и жёлтым, если топливо кончилось, и продолжается движение ракеты в поле тяжести. Выводится также текущая продолжительность полёта, скорость ракеты, 2-я космическая скорость в текущей точке и процентное количество оставшегося топлива. По завершении вычисления, на экран  выводятся графики зависимости от времени высоты, скорости и ускорения ракеты (ускорение нормируется в единицах ). Программа переходит в режим ожидания.

 В пункте меню Параметры->дополнительно выбираются варианты применяемых моделей ускорения и учёта сил инерции (силы Кориолиса).

Анализ результатов