Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции у(х), мы должны их сравнить. Пусть u^h значение функции u(х) на сеточной области , т.е. u^h H_h.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (1.14), (1.15), которая аппроксимирует на сетке  дифференциальную задачу (1.12), (1.13).

Введем функцию погрешности решения

z_h=y_h- u^h,

где y_h- решение схемы (1.14), (1.15), u^h- решение задачи (1.12), (1.13) на сетке . Подставив y_h = z_h + u^h в линейную задачу (1.14), (1.15), полу­чим для z_h задачу того же вида, что и (1.14), (1.15):

                                              (1.26)

                                              (1.27)

где                                                                        (1.28)

Функции (1.28) называются погрешностью аппроксимации задачи (1.12), (1.13), схемой (1.14), (1.15) на решении задачи (1.12), (1.13).

 Будем говорить, что решение разностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению задачи (1.12), (1.13), если

при

Разностная схема сходится со скоростью O(h^h) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h h₀ выполняется неравенство

где М>0, не зависит от h, n>0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации,

Если         

т.е.

Теорема Лакса. Пусть дифференциальная задача (1.12), (1.13) постав­лена корректно, разностная схема (1.14), (1.15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (1.12), (1.13). Тогда решение раз­ностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению исходной задачи (1.12), (1.13), причем порядок точности совпадает с порядком апп­роксимации.

Доказательство. Если схема (1.14), (1.15) корректна, то нетрудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппрокси­мации (1.28).

Задача (1.26), (1.27) аналогична задаче (1.14), (1.15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (1.16), получим оценку

                                                        (1.29)

Таким образом, если схема (1.14), (1.15) корректна и аппроксими­рует задачу (1.12), (1.13), то она сходится при h 0. Норма погреш­ности |  при

h 0, если  и  при h 0.

 Из оценки (1.28) видно, что порядок точности схемы (1.14), (1.15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hⁿ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для  получаем схему:

                                                     (1.30)

Разложим  по формуле Тейлора в точке , имеем

                                                                    (1.31)

Подставляя (1.31) в , получим  т.е. имеем первый порядок аппроксимации. Из (1.30) имеем

При  имеем  Выражая  через , получим:

Отсюда видно, что при . Для точности схемы имеем

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Для пог­решности решения  получаем разностную схему:

Подставляя разложение (1.31) в , получим

Отсюда имеем

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для

Множитель  при . Выражая  через , имеем

Отсюда , т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий ус­тойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпа­дает с порядком погрешности аппроксимации[4].

Основные понятия и история вопроса