Функций. Нормы сеточных функций

Функция y=y(x_i) дискретного аргумента х_i называется сеточной функцией, определенной на сетке . Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т.е. . Далее мы будем писать .

Сеточная область w_h зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции y_h(x) зависят от параметра h.

Функции u(х) непрерывного аргумента являются элементами функ­ционального пространства H. Множество сеточных функций y_h(x) образует пространство H_h. Таким образом, в методе сеток простран­ство Н, заменяется пространством H_h сеточных функций y_h(x).

Так как рассматривается множество сеток {w_h}, то мы получаем множество {H_h}пространств сеточных функций, определенных на {w_h}.

Пусть u(х) - решение исходной непрерывной задачи (1.1), u H; y_h -решение разностной задачи. y_h H_h. Для теории приближенных вычис­лений представляет большой интерес оценка близости u(х) и y_h(x), но u(х) и y_h(х) являются элементами из различных пространств. Прост­ранство Н отображается на пространство H_h. Каждой функции u(х) Н ставится в соответствие сеточная функция y_h(x), х  w_h, так что y_h=P_hu  Н_h, где P_h - линейный оператор из Н в H_h. Это соответствие можно осуществить различными способами, т.е. зависит от выбора оператора P_h. Теперь, имея сеточную функцию u_h, образуем разность y_h-u_h, которая является вектором пространства H_hБлизость y_h и u_h, характеризуется числом , где - норма на H_h.

Соответствие функций u(х) и u_h можно установить различными спо­собами, например,

u_h=u(x), х  w_h.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве H_h введем норму , которая является аналогом нормы || • ||_н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве H_h так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие

                ,                                                                        (1.2)

где - норма в пространстве функций, определенных на отрезке,

которому принадлежит решение.

 Условие (1.2) называют условием согласования в пространствах H_h, и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в H_h для случая сеток w_h={x_i=i h} на отрезке .

1.Норма

удовлетворяет условию (1.2), если в качестве Н рассматривать прост­ранство непрерывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде (1.2), т.е.

2.  Норма

удовлетворяет условию (1.2), если за Н принять пространство непре­рывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде

 [4, 6].