Структура и уравнение системы ФАПЧ

Введение

Системой фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ или Phase Lock Loop – PLL) называют систему, содержащую генератор колебаний, полная фаза которого автоматически подстраивается под полную фазу входного колебания, либо отклоняется от нее по требуемому закону, задаваемому внешним управляющим сигналом. Такие системы находят широкое применение в различных областях науки и техники.

Их используют, например, для:
– определения частоты и начальной фазы принимаемого гармонического сигнала или несущего колебания модулированного радиосигнала,
– оценки доплеровского смещения частоты принимаемого колебания,
– демодуляции (детектирования) частотно-, фазо-, амплитудно-, балансно- модулированных (ЧМ, ФМ, АМ, БМ) сигналов.

В этих случаях система ФАПЧ выполняет роль следящего фильтра, который отслеживает требуемый параметр входного радиосигнала.

Системы ФАПЧ применяют также для формирования ЧМ и ФМ сигналов со стабильной несущей частотой. В таком случае система ФАПЧ поддерживает несущую частоту своего генератора равной частоте эталонного генератора на входе и осуществляет отклонение частоты своего генератора от эталона по закону, задаваемому внешним модулирующим напряжением.

Системы ФАПЧ входят в состав синтезаторов частоты. С помощью таких устройств создают множество колебаний разных частот из колебания единого эталонного генератора. Системы ФАПЧ при этом осуществляют операции умножения и деления частоты эталонного генератора.

Системы ФАПЧ используют для фазовой синхронизации циклотронов и других ядерных реакторов. С помощью системы ФАПЧ поддерживают постоянство частоты переменного напряжения в единой сети электроснабжения страны.

Явления синхронизации биоритмов живых организмов наблюдают и используют в биологии и медицине. Синхронизация многих процессов осуществляют в экономической, финансовой и других видах человеческой деятельности.

В данной работе изучаются основные свойства систем ФАПЧ, используемых для отслеживания частоты и начальной фазы радиосигнала, принимаемого в смеси с шумовой помехой.

Структура и уравнение системы ФАПЧ

Структурная схема изучаемой системы ФАПЧ показана на рис.1. При ее рассмотрении используются следующие обозначения:

Рис. 1

– ГУН – генератор колебаний, управляемый напряжением,
– y(t)   – выходное колебание ГУНа,
– x(t) – входное колебание (входной радиосигнал системы ФАПЧ),
–   e(t) – внешнее управляющее напряжение (которое в ряде приложений системы ФАПЧ отсутствует),
– u(t) – внутреннее управляющее напряжение системы ФАПЧ,
–  Sum  – сумматор напряжений  и  (который при отсутствии напряжения  также отсутствует),
–  ФД   – фазовый дискриминатор (детектор), сравнивающий полные фазы колебаний  и   ,
– (t) – выходное напряжение ФД, именуемое также сигналом ошибки,
–  ПФ – петлевой фильтр (линейный фильтр нижних частот ФНЧ), преобразующий сигнал ошибки (t) в управляющее напряжение u(t).

Системы ФАПЧ бывают как аналоговыми, так и цифровыми. При первом знакомстве с этими системами удобней сначала изучить их аналоговые варианты. В аналоговой системе ФАПЧ колебания и  синусоидальны. Для таких систем имеем:
– x(t) = A cos [ _сн t + _сн + _с(t)] = A cos [ _с(t)] – входной радиосигнал, у которого А  – действующее значение, _сн – несущая частота, _сн –   начальная фаза,
_с(t) =  – девиация фазы,   – девиация частоты,   – полная фаза,
– y(t) =  cos [  + +  =  cos [ – выходной радиосигнал, у которого   – действующее значение, – исходная частота,  – начальная фаза,  – девиация фазы,  – девиация частоты,  – крутизна линеаризованной модуляционной характеристики ГУНа, (t) – полная фаза,
 –   – выходное напряжение ФД, где D – числовой коэффициент,
F(z)– нормированная дискриминационная характеристика ФД,
 – ПФ  характеризуется комплексным коэффициентом передачи H(j ) и импульсной переходной характеристикой  h_и(t)  (или символическим коэффициентом передачи H(p), где p = j ,или H(s), s = , при этом   u(t) =  (или .

Равенство  записанное в символической форме с учетом приведенных выше соотношений, имеет следующий вид:

                                                (1)
Его и называют символическим уравнением системы ФАПЧ.

Вычитая из равенства (1) равенство  получаем другой вариант записи символического уравнения системы ФАПЧ:
         (2)
где  (или )  – разность полных фаз входного радиосигнала и выходного колебания ГУНа,  – начальное рассогласование по частоте между названными колебаниями.

Из выражений (1) и (2) видно, что более конкретная запись этих уравнений требует задания вида дискриминационной характеристики ФД (функции F(z)) и структуры ПФ
 ( функции H(p)). В аналоговых системах ФАПЧ обычно применяют параметрический или векторно-мерный ФД. Параметрический ФД состоит из перемножителя напряжений, ФНЧ и фазовращателя, который сдвигает выходное напряжение ГУНа перед подачей его на перемножитель на угол  Для такого ФД имеем; sin[ ,  где k_фд – коэффициент передачи ФД. Таким образом, для данного ФД имеем

Векторно-мерный ФД содержит векторный сумматор входных напряжений на катушках индуктивности и два амплитудных диодных детектора. При условии , обычно выполняемом на практике, нормированная дискриминационная характеристика этого ФД также близка к синусоидальной. Следовательно, для указанных ФД выражение (2) приобретает следующий вид:

                                       (3а)
где К = . Этой символической форме соответствует следующее интегро-дифференциальное уравнение системы ФАПЧ:
                                                (3б)
Видно, что уравнения (3а) и (3б) являются нелинейными.

В момент включения системы ФАПЧ, используемой как следящий фильтр, обычно выполняются неравенства  и  С течением времени система ФАПЧ должна свести модули величин и  к нулю. Режим работы системы ФАПЧ от момента ее включения до момента достижения модулем функции  допустимо малой величины называют режимом вхождения в синхронизм или режимом захвата сигнала. Рассматривая этот режим, необходимо ответить на следующие вопросы.

1. При любых ли рассогласованиях по частоте и по начальной фазе при система может войти в синхронизм за приемлемый отрезок времени.

2. Чем задается характер и длительность процесса вхождения в синхронизм.

Дальнейший режим поддержания близости полных фаз  и  с допустимой ошибкой называют режимом синхронизации или режимом сопровождения сигнала или режимом слежения. Для этого режима интересно определить:

3. Связь между величиной ошибок сопровождения и параметрами системы и входного воздействия.

4. Возможны ли нарушения режима сопровождения и при каких условиях этот может произойти.

Свойства системы ФАПЧ в режиме захвата выявляют анализируя ее нелинейное уравнение. Оно же определяет и поведение системы в режиме слежения при больших и  резких изменениях полной фазы сигнала, при действии сильных помех или при больших управляющих напряжениях  Обсуждение результатов такого анализа дано в разделе 3.

В режиме слежения стараются обеспечить высокую точность сопровождения, то есть малость значений . При этом нелинейная дискриминационная характеристика ФД используется на малом участке вблизи начала координат и ее можно линеаризовать, то есть положить . В режиме точного слежения можно также считать, что  и , где  и   – вариации фазы входного радиосигнала и колебания ГУНа.  При указанных условиях нелинейное уравнение (1) заменяют его линеаризованным приближением:
                     .                   (4)

Конкретизируем теперь запись уравнений (3) и (4) для следующих видов петлевых фильтров, применяемых на практике.

А. Отсутствие петлевого фильтра (  В таком случае уравнения системы ФАПЧ приобретают следующий вид:
                       ,                            (5а)
                                                              (5б)
                                                                (5в)

Б. Петлевой фильтр в виде интегрирующей цепи, показанной на рис. 2а. В этом случае имеем  где

Рис. 2

Из выражений (3) и (4) получаем:
     (6а)
         (6б)
                                          (6в)

В. Петлевой фильтр в виде пропорционально-интегрирующей цепи, изображенной на рис. 2б. Для данного ПФ имеем:  где  (Нетрудно показать, что этот ПФ может быть выполнен также в виде схемы, представленной на рис. 2в.). В результате подстановки данного выражения  в уравнения (3)-(4) получаем:

                                                                                                                                          (7а)
                  
                                 =                           (7б)
                         
                                                  (7в)

Г. Петлевой фильтр в виде параллельно включенных безынерционного блока с вещественным коэффициентом передачи и идеального интегратора с коэффициентом передачи , структурная схема которого дана на рис. 2г. Для данного ПФ имеем:
 Систему ФАПЧ с таким ПФ иногда называют системой с двумя интеграторами. Для нее имеем:
                                                 (8а)
                                   (8б)
                                             (8в)