Частотные критерии устойчивости

К частотным критериям ним относятся критерии Михайлова и Найквиста.

Критерий Михайлова базируется на исследовании характеристического комплекса замкнутой системы - знаменателя частотной передаточной функции замкнутой системы.

Как всякая комплексная функция, характеристический комплекс может быть представлен вектором на комплексной плоскости. При изменении частоты конец вектора описывает кривую, называемую годографом характеристического комплекса.

При изменении  от  до  аргумент характеристического комплекса приобретает приращение, величина которого определяется порядком характеристического комплекса и устойчивостью системы.

Если при изменении  от  до  ,то система является устойчивой. Если <  то система неустойчива.

- содержит четные степени. При изменении  от 0 до система будет устойчива, если  и не устойчива, если .

Применительно к поведению годографа характеристического комплекса критерий может быть сформулирован следующим образом: замкнутая система устойчива, если при изменении частоты  от 0 до годограф характеристического комплекса последовательно прочерчивает n – квадрантов. Если последовательность нарушается, система неустойчива. Если годограф проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости (рис. 1).

Практическое применение критерия на обязательно требует построения годографа.

Пример.

Пусть порядок характеристического комплекса n=6. Разделим характеристический комплекс на действительную и мнимую части, действительная содержит коэффициенты с четными индексами, а мнимая – с нечетными:

;

.

Рис. 1. Годографы характеристического комплекса

Находим корни мнимой части характеристического комплекса, приравнивая его нулю: Im( ) = 0. Найденные значения корней подставим в действительную часть и вычислим ее. Если действительная часть меняет знак при последовательной подстановке корней в порядке увеличения их значений, то система устойчива. Иначе говоря, в устойчивой системе корни мнимой и действительной частей характеристического комплекса перемежаются.

Поскольку в замкнутой системе все передаточные функции, связывающие входные и выходные величины, не отличаются знаменателем, то для определения устойчивости можно использовать характеристический комплекс любой частотной передаточной функции замкнутой системы.

Коэффициент ( ) является коэффициентом усиления разомкнутой системы , при увеличении годограф смещается вправо и при критическом значении  пройдет через начало координат. Поэтому величина А (рис. 4.1) определяет запас устойчивости по амплитуде.

Критерий Найквиста базируется на исследовании поведения годографа частотной передаточной функции (амплитудно-фазовой характеристики) разомкнутой системы.

Рис.2. Годографы частотной передаточной функции разомкнутой системы

Если годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, при изменении частоты  от 0 до  не охватывает точку с координатами (-1;j0) , то система устойчива, в противном случае система не устойчива (рис. 2).

Если годограф проходит через точку с координатами (-1;j0), то система находится на границе устойчивости. Это означает, что на некоторой частоте фазовый сдвиг равен  ,а модуль частотной передаточной функции А(ω)=1. Поскольку в замкнутой системе имеет место отрицательная обратная связь, то при таком фазовом сдвиге обратная связь становится положительной и выполняются условия самовозбуждения.

Для систем, содержащих интегрирующие звенья, годограф уходит в «бесконечность» при . Тогда, чтобы решить охватывает или нет годограф точку с координатами (-1;j0), его дополняют дугой бесконечно большого радиуса, которая начинается на положительной полуоси вещественных чисел и заканчивается на пересечении с годографом. Дуга проводится в направлении по часовой стрелке.

Необходимость в дополнении годографа дугой обусловлена следующим. Вывод критерия Найквиста базируется на критерии устойчивости Михайлова, из которого следует: если в точку с координатами (-1;j0),поместить начало вектора, соединяющего эту точку с кривой АФХ разомкнутой системы (рис.4.3), то для устойчивой системы этот вектор при изменении частоты  от 0 до , описав АФХ этой системы, не должен совершить ни одного оборота вокруг точки с координатами (-1;j0). Если же АФХ охватывает эту точку, то полное приращение аргумента вектора составит 360 градусов.

Критерий позволяет оценить запас устойчивости по фазе и амплитуде (рис. 4). Запас устойчивости по фазе показывает на какую величину необходимо увеличить запаздывание в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости и рассчитывается по формуле:

,

где ─ частота среза определяемая из условия:   

Рис.3.Годограф, дополненный дугой

Запас устойчивости по фазе для хорошо демпфированных систем должен составлять .

Запас устойчивости по амплитуде В показывает во сколько раз необходимо увеличить усиление в системе, чтобы она оказалась на границе устойчивости:

,

Рис 4. Определение запасов устойчивости