III Проекция ускорения на естественные оси.

Естественными осями при изучении криволинейного движения на плоскости принято считать касательную и нормаль к траектории. Тангенциальная и нормальная компоненты векторов часто позволяют полнее раскрыть физический смысл рассматриваемого движения. Вводимые ниже понятия напоминают те, которыми мы пользовались в полярной системе координат, но они не зависят от выбора системы отсчёта.

Задача 11. Движение точки в плоскости описывается в декартовых координатах как x=x(t), y=y(t). Определить проекции скорости и ускорения на естественные оси, а также радиус кривизны траектории.

Рис. 7. Касательная и нормаль

Направим координатные оси τ и n вдоль касательной и нормали к траектории, как показано на Рис. 7. Обозначим e_τ и e_n единичные векторы вдоль соответствующих осей. Вектор e_τ направлен вдоль скорости:

.

Формула позволяет получить удобное выражение для тангенциального ускорения. Продифференцировав её по времени, получим

.

Так как длина вектора  не меняется, то направлен ортогонально к . Отсюда

.                                                                                                                                         ( 19 )

Вектор нормали e_n ищем в виде

,

где подлежащие определению проекции a и b удовлетворяют условиям нормировки

и ортогональности:

.

Из двух решений этой системы уравнений мы выбираем такое, при котором вектор нормали направлен в сторону вогнутости траектории, как на Рис. 7:

.

Проекция ускорения на касательную w_τ равна скалярному произведению

.                                                                                                  ( 20 )

Аналогично вычисляем w_n:

.                                                                                               ( 21 )

Перейдём к вычислению радиуса кривизны ρ траектории в данной точке. Он задаётся условием

Рис. 8 Радиус кривизны.

,

где ds — смещение вдоль траектории, соответствующее изменению угла dφ. Обе эти величины на Рис. 8 считаем бесконечно малыми. Следовательно, можно пренебречь изменением абсолютной величины скорости на отрезке ds и воспользоваться известной формулой для центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности:

.

Подставляя сюда ( 21 ), приходим к

.

Радиус кривизны бесконечно велик в случае прямолинейной траектории.

Рис. 9.

Задача 12. Точка описывает эллипс

.

Определить нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, а также радиус кривизны траектории в точках A и B Рис. 9.

Рассматриваемое движение является частным случаем Задача 1. Подставив ( 5 ) в ( 20 ), приходим к

.

Аналогичным путём получаем формулы для нормального ускорения

и для радиуса кривизны

.

Подставляя в них зависимость x и y от времени, получаем для точки A:

и для точки B:

.

Задача 13. Частица движется в плоскости по траектории r=acosφ. В начальный момент времени φ=0, а скорость направлена перпендикулярно радиус‑вектору. Секторная скорость постоянна и равна K/2. Определить связь между модулями v и r , а также компоненты ускорения: тангенциальную, нормальную, радиальную и трансверсальную.

При постоянном K величина v однозначно выражается уравнением траектории:

.

Здесь мы воспользовались обозначениями Задача 6 и формулой ( 15 ). Подставляя

,

приходим к следующему выражению для v²:

,

откуда

.

Рис. 10. Компоненты вектора ускорения.

В интервале углов  траектория представляет собой окружность радиусом a/2 с центром в точке x=a/2, y=0. На Рис. 10 показаны все четыре компоненты вектора ускорения.. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории. Воспользуемся формулой ( 19 ) Задача 11:

. При известных значениях скорости и радиуса кривизны нормальное ускорение рассчитываем по формуле

.

Трансверсальное ускорение равно нулю. Вычисление радиальной компоненты можно упростить следующим образом. Нам известны компоненты вектора  в разложении по  и . Из Рис. 10 видно, что они равны cosφ и sinφ соответственно. Компонента w_ξ равна скалярному произведению векторов w и e_ξ: .Подставляя сюда полученные выше выражения для w_n и w_τ , получаем .Тело движется под действием притягивающей силы, величина которой обратно пропорциональна r⁵.

[1] Знаки a и b определяют квадрант, в котором находится гипербола.